III.8. Основне конструкције троугла

Анализа задатка

Дате су две странице троугла и угао између њих: \( BA = c = 4 \text{ cm} \), \( BC = a = 3 \text{ cm} \) и захваћени угао \( \angle CBA = \beta = 45^\circ \). Пошто су обе странице повучене из истог темена \( B \), а дати угао је баш угао између њих, реч је о конструкцији по ставу подударности СУС (страница–угао–страница). Такав троугао постоји и једнозначно је одређен (тачно једно решење до подударности), јер је задат угао између двеју датих страница. Угао \( \beta = 45^\circ \) може се конструисати само шестаром и лењиром, као половина правог угла \( 90^\circ \).

1) Дати елементи

На помоћној правој шестаром пренесемо дужи и запамтимо њихове дужине: \( c = 4 \text{ cm} \) и \( a = 3 \text{ cm} \). Угао који конструишемо је \( \beta = 45^\circ \).

2) Конструкција угла \( \angle pBq = \beta = 45^\circ \)

Означимо теме \( B \) и повучемо једну полуправу \( Bq \). У тачки \( B \) прво конструишемо прав угао, а затим га преполовимо симетралом да добијемо \( 45^\circ \): • Шестаром из \( B \) произвољним полупречником пресечемо полуправу \( Bq \) у тачки \( M \). • Из \( M \) истим полупречником, а затим и додатним луковима, конструишемо нормалу на \( Bq \) у тачки \( B \) (подигнемо управну праву у \( B \)); тако добијамо помоћну полуправу \( Bn \) за коју је \( \angle nBq = 90^\circ \). • Симетралом угла \( \angle nBq \) добијамо полуправу \( Bp \) за коју је \( \angle pBq = \dfrac{90^\circ}{2} = 45^\circ \). (Симетралу цртамо тако што из пресека кракова са произвољним луком повучемо два једнака лука који се секу, и ту тачку спојимо са \( B \).) Сада је \( \angle pBq = \beta = 45^\circ \), где су \( Bp \) и \( Bq \) два крака траженог угла у темену \( B \).

3) Одређивање тачке \( C \) на полуправој \( Bp \)

Шестар отворимо на дужину \( a = 3 \text{ cm} \), забодемо врх у центар \( B \) и повучемо кружни лук полупречника \( a \). Пресек тог лука с полуправом \( Bp \) означимо са \( C \). Тако је \( BC = a = 3 \text{ cm} \).

4) Одређивање тачке \( A \) на полуправој \( Bq \)

Шестар отворимо на дужину \( c = 4 \text{ cm} \), забодемо врх поново у центар \( B \) и повучемо кружни лук полупречника \( c \). Пресек тог лука с полуправом \( Bq \) означимо са \( A \). Тако је \( BA = c = 4 \text{ cm} \).

5) Спајање и завршетак

Лењиром повучемо дуж \( CA \). Добијени троугао \( ABC \) има странице \( BC = 3 \text{ cm} \), \( BA = 4 \text{ cm} \) и угао између њих \( \angle CBA = 45^\circ \), што су управо задати елементи.

Провера

Странице \( a = 3 \) и \( c = 4 \) полазе из темена \( B \) под углом \( \beta = 45^\circ \); њихови крајеви \( C \) и \( A \) спојени су трећом страницом \( CA \). Конструкција је коректна по ставу СУС и даје јединствен троугао (до подударности), јер је задати угао захваћен између двеју датих страница.

Конструкција по СУС: у темену \( B \) начинимо угао \( \beta = 45^\circ \) (половина правог угла) с крацима \( Bp \) и \( Bq \); луком \( a = 3 \text{ cm} \) из \( B \) на \( Bp \) добијемо \( C \), луком \( c = 4 \text{ cm} \) из \( B \) на \( Bq \) добијемо \( A \), па спојимо \( CA \). Троугао је једнозначно одређен.