III.8. Основне конструкције троугла

Решење: Анализа задатка Дате су две странице троугла и угао између њих: \( BA = c = 4 \text{ cm} \), \( BC = a = 3 \text{ cm} \) и захваћени угао \( \angle CBA = \beta = 45^\circ \). Пошто су обе странице повучене из истог темена \( B \), а дати угао је баш угао између њих, реч је о конструкцији по ставу подударности СУС (страница–угао–страница). Такав троугао постоји и једнозначно је одређен (тачно једно решење до подударности), јер је задат угао између двеју датих страница. Угао \( \beta = 45^\circ \) може се конструисати само шестаром и лењиром, као половина правог угла \( 90^\circ \). 1) Дати елементи На помоћној правој шестаром пренесемо дужи и запамтимо њихове дужине: \( c = 4 \text{ cm} \) и \( a = 3 \text{ cm} \). Угао који конструишемо је \( \beta = 45^\circ \). 2) Конструкција угла \( \angle pBq = \beta = 45^\circ \) Означимо теме \( B \) и повучемо једну полуправу \( Bq \). У тачки \( B \) прво конструишемо прав угао, а затим га преполовимо симетралом да добијемо \( 45^\circ \): • Шестаром из \( B \) произвољним полупречником пресечемо полуправу \( Bq \) у тачки \( M \). • Из \( M \) истим полупречником, а затим и додатним луковима, конструишемо нормалу на \( Bq \) у тачки \( B \) (подигнемо управну праву у \( B \)); тако добијамо помоћну полуправу \( Bn \) за коју је \( \angle nBq = 90^\circ \). • Симетралом угла \( \angle nBq \) добијамо полуправу \( Bp \) за коју је \( \angle pBq = \dfrac{90^\circ}{2} = 45^\circ \). (Симетралу цртамо тако што из пресека кракова са произвољним луком повучемо два једнака лука који се секу, и ту тачку спојимо са \( B \).) Сада је \( \a…