Најважније из лекције
Формуле за квадрат бинома су међу најважнијим формулама у алгебри:
Квадрат збира: \( (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \)
Квадрат разлике: \( (A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 \)
Најчешћа грешка коју треба избећи је заборављање двоструког производа! Запамтите да \( (A+B)^2 \) није једнако \( A^2 + B^2 \).
Такође, када квадрирате моном који садржи коефицијент и променљиву, обавезно квадрирајте и број и променљиву: \( (5x)^2 = 25x^2 \).
Квадрат збира: \( (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \)
Квадрат разлике: \( (A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 \)
Најчешћа грешка коју треба избећи је заборављање двоструког производа! Запамтите да \( (A+B)^2 \) није једнако \( A^2 + B^2 \).
Такође, када квадрирате моном који садржи коефицијент и променљиву, обавезно квадрирајте и број и променљиву: \( (5x)^2 = 25x^2 \).
Квадрат збира два монома једнак је збиру квадрата првог монома, двоструког производа првог и другог монома, и квадрата другог монома.
\[ (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \]
Пример израчунавања квадрата збира:
\( (x+3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9 \)
Када моном има више чинилаца, обавезно користите заграде:
\( (3x+5y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 5y + (5y)^2 = 9x^2 + 30xy + 25y^2 \)
\( (x+3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9 \)
Када моном има више чинилаца, обавезно користите заграде:
\( (3x+5y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 5y + (5y)^2 = 9x^2 + 30xy + 25y^2 \)
Одреди квадрат збира бинома \( 2a + 4 \).
\( (2a+4)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 4 + 4^2 = 4a^2 + 16a + 16 \)
Квадрат бинома је заједнички назив за квадрат збира и квадрат разлике.
Квадрат разлике два монома рачуна се слично као квадрат збира, али се испред двоструког производа налази знак минус.
\[ (A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 \]
Обратите пажњу да је трећи члан (квадрат другог монома) увек позитиван, односно стоји знак плус испред \( B^2 \).
Пример израчунавања квадрата разлике:
\( (x-3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9 \)
Сложенији пример:
\( (2a-3b)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 3b + (3b)^2 = 4a^2 - 12ab + 9b^2 \)
\( (x-3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9 \)
Сложенији пример:
\( (2a-3b)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 3b + (3b)^2 = 4a^2 - 12ab + 9b^2 \)
Квадрирај бином \( 5x - 2y \).
\( (5x - 2y)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 2y + (2y)^2 = 25x^2 - 20xy + 4y^2 \)
У складу са својствима сабирања и множења реалних бројева, за мономе важе следећа правила:
- \( (-A+B)^2 = (A-B)^2 \) или \( (B-A)^2 = (A-B)^2 \) (Због комутативности сабирања)
- \( (-A-B)^2 = (A+B)^2 \) (Када су оба знака минус, резултат је исти као код квадрата збира)
Уместо да рачунамо квадрат са негативним првим чланом, можемо применити правило:
\( (-x - 5)^2 = (x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25 \)
\( (-x - 5)^2 = (x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25 \)
Формуле за квадрат бинома могу се користити за брже усмено рачунање квадрата већих бројева, тако што се број напише као збир или разлика десетица/стотина и јединица.
Рачунање квадрата збира:
\( 31^2 = (30+1)^2 = 30^2 + 2 \cdot 30 \cdot 1 + 1^2 = 900 + 60 + 1 = 961 \)
Рачунање квадрата разлике:
\( 599^2 = (600-1)^2 = 600^2 - 2 \cdot 600 \cdot 1 + 1^2 = 360000 - 1200 + 1 = 358801 \)
\( 31^2 = (30+1)^2 = 30^2 + 2 \cdot 30 \cdot 1 + 1^2 = 900 + 60 + 1 = 961 \)
Рачунање квадрата разлике:
\( 599^2 = (600-1)^2 = 600^2 - 2 \cdot 600 \cdot 1 + 1^2 = 360000 - 1200 + 1 = 358801 \)
Користећи квадрат бинома, израчунај \( 42^2 \).
\( 42^2 = (40 + 2)^2 = 40^2 + 2 \cdot 40 \cdot 2 + 2^2 = 1600 + 160 + 4 = 1764 \)
Квадрат тринома се састоји од збира квадрата сваког члана и двоструких производа свака два члана. Одређује се груписањем чланова унутар заграде.
\[ (x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz \]
Задаци за вежбање
Лаки ниво: Представи у сређеном облику следеће изразе:
а) \( (a+7)^2 \)
б) \( (y-4)^2 \)
а) \( (a+7)^2 \)
б) \( (y-4)^2 \)
а) \( (a+7)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 7 + 7^2 = a^2 + 14a + 49 \)
б) \( (y-4)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2 = y^2 - 8y + 16 \)
б) \( (y-4)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2 = y^2 - 8y + 16 \)
Средњи ниво: Који моном треба уписати уместо симбола ⯀ тако да једнакост буде тачна?
\( (4x - \text{⯀})^2 = 16x^2 - 24xy + 9y^2 \)
\( (4x - \text{⯀})^2 = 16x^2 - 24xy + 9y^2 \)
Упоређујемо чланове са десне стране са формулом \( (A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 \).
Први члан на квадрат је \( 16x^2 \), што значи да је \( A = 4x \).
Трећи члан је \( 9y^2 \), што је квадрат другог члана бинома (\( B^2 \)). Одатле следи да је \( B = 3y \).
Проверавамо двоструки производ: \( 2 \cdot 4x \cdot 3y = 24xy \), што се поклапа са средишњим чланом.
Одговор: Уместо симбола ⯀ треба уписати моном \( 3y \).
Први члан на квадрат је \( 16x^2 \), што значи да је \( A = 4x \).
Трећи члан је \( 9y^2 \), што је квадрат другог члана бинома (\( B^2 \)). Одатле следи да је \( B = 3y \).
Проверавамо двоструки производ: \( 2 \cdot 4x \cdot 3y = 24xy \), што се поклапа са средишњим чланом.
Одговор: Уместо симбола ⯀ треба уписати моном \( 3y \).
Тежи ниво: Упрости израз:
\( (3x + 2y)^2 - (3x - 2y)^2 \)
\( (3x + 2y)^2 - (3x - 2y)^2 \)
Прво квадрирамо оба бинома користећи формуле за квадрат збира и квадрат разлике (обавезно задржавамо заграду после знака минус):
\( ((3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2) - ((3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2) \)
\( = (9x^2 + 12xy + 4y^2) - (9x^2 - 12xy + 4y^2) \)
Ослобађамо се заграде тако што променимо знаке унутар ње:
\( = 9x^2 + 12xy + 4y^2 - 9x^2 + 12xy - 4y^2 \)
Сређујемо сличне мономе (\( 9x^2 - 9x^2 = 0 \) и \( 4y^2 - 4y^2 = 0 \)):
\( = 12xy + 12xy = 24xy \)
Одговор: Израз у упрошћеном облику је \( 24xy \).
\( ((3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2) - ((3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2) \)
\( = (9x^2 + 12xy + 4y^2) - (9x^2 - 12xy + 4y^2) \)
Ослобађамо се заграде тако што променимо знаке унутар ње:
\( = 9x^2 + 12xy + 4y^2 - 9x^2 + 12xy - 4y^2 \)
Сређујемо сличне мономе (\( 9x^2 - 9x^2 = 0 \) и \( 4y^2 - 4y^2 = 0 \)):
\( = 12xy + 12xy = 24xy \)
Одговор: Израз у упрошћеном облику је \( 24xy \).
