Најважније из лекције
Питагорине тројке: Тројке природних бројева које задовољавају услов \(a^2 + b^2 = c^2\) (на пример: 3, 4, 5 или 5, 12, 13).
Теорема обратна Питагориној: Користи се да би се проверило да ли је неки троугао правоугли само на основу дужина његових страница.
Правило провере: Ако за странице важи \(c^2 = a^2 + b^2\) (где је \(c\) најдужа страница), троугао је сигурно правоугли, а угао наспрам странице \(c\) је прав угао (\(90^\circ\)). Уколико једнакост не важи, троугао није правоугли.
Теорема обратна Питагориној: Користи се да би се проверило да ли је неки троугао правоугли само на основу дужина његових страница.
Правило провере: Ако за странице важи \(c^2 = a^2 + b^2\) (где је \(c\) најдужа страница), троугао је сигурно правоугли, а угао наспрам странице \(c\) је прав угао (\(90^\circ\)). Уколико једнакост не важи, троугао није правоугли.
Питагорина тројка бројева јесте свака тројка природних бројева \( a, b \) и \( c \) за коју важи \( a^2 + b^2 = c^2 \).
Питагориних тројки има бесконачно много. Најчешће се користи тројка 3, 4 и 5.
| \(a, b\) и \(c\) | Провера (\(a^2 + b^2 = c^2\)) |
|---|---|
| 3, 4 и 5 | \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\) |
| 5, 12 и 13 | \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\) |
| 8, 15 и 17 | \(8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2\) |
| 7, 24 и 25 | \(7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2\) |
Ако је квадрат дужине једне странице троугла једнак збиру квадрата дужина других двеју страница, онда је тај троугао правоугли.
У таквом троуглу, угао који се налази наспрам најдуже странице увек је прав угао (\(90^\circ\)).
Да ли је троугао са страницама \(6 \text{ cm}\), \(8 \text{ cm}\) и \(10 \text{ cm}\) правоугли?
Најдужа страница је \(10 \text{ cm}\), па проверавамо да ли важи једнакост:
\(10^2 = 6^2 + 8^2\)
\(100 = 36 + 64\)
\(100 = 100\)
Како једнакост важи, закључујемо да троугао јесте правоугли.
Најдужа страница је \(10 \text{ cm}\), па проверавамо да ли важи једнакост:
\(10^2 = 6^2 + 8^2\)
\(100 = 36 + 64\)
\(100 = 100\)
Како једнакост важи, закључујемо да троугао јесте правоугли.
Да ли је троугао са дужинама страница \(3 \text{ cm}\), \(4 \text{ cm}\) и \(6 \text{ cm}\) правоугли?
Најдужа страница је \(6 \text{ cm}\), па проверавамо једнакост:
\(6^2 = 3^2 + 4^2\)
\(36 = 9 + 16\)
\(36 \neq 25\)
Како једнакост не важи, троугао није правоугли.
\(6^2 = 3^2 + 4^2\)
\(36 = 9 + 16\)
\(36 \neq 25\)
Како једнакост не важи, троугао није правоугли.
Задаци за вежбање
Лак: Дати су мерни бројеви дужина страница троугла: 9, 12 и 15. Да ли је овај троугао правоугли?
Најдужа страница је \(c = 15\). Проверавамо да ли важи Питагорина једнакост:
\(15^2 = 9^2 + 12^2\)
\(225 = 81 + 144\)
\(225 = 225\)
Одговор: Да, троугао је правоугли јер важи једнакост.
\(15^2 = 9^2 + 12^2\)
\(225 = 81 + 144\)
\(225 = 225\)
Одговор: Да, троугао је правоугли јер важи једнакост.
Средњи: Одреди мере унутрашњих углова троугла ако су мерни бројеви дужина страница тог троугла \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{2}\) и \(2\).
Прво проверавамо да ли је троугао правоугли. Најдужа страница је \(2\) (пошто је \(2 > \sqrt{2}\)).
\( (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4 \)
\( 2^2 = 4 \)
Како је \(4 = 4\), троугао је правоугли, па је један његов угао \(90^\circ\).
Пошто троугао има две једнаке странице (\(\sqrt{2}\)), он је истовремено и једнакокраки, па су преостала два угла једнака.
\( (180^\circ - 90^\circ) : 2 = 45^\circ \)
Одговор: Углови троугла су \(90^\circ, 45^\circ\) и \(45^\circ\).
\( (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4 \)
\( 2^2 = 4 \)
Како је \(4 = 4\), троугао је правоугли, па је један његов угао \(90^\circ\).
Пошто троугао има две једнаке странице (\(\sqrt{2}\)), он је истовремено и једнакокраки, па су преостала два угла једнака.
\( (180^\circ - 90^\circ) : 2 = 45^\circ \)
Одговор: Углови троугла су \(90^\circ, 45^\circ\) и \(45^\circ\).
Тежак: Странице троугла су \( a = 20 \text{ cm} \), \( b = 21 \text{ cm} \) и \( c = 29 \text{ cm} \). Одреди дужину висине која одговара страници \( c \).
Прво проверавамо да ли је троугао правоугли:
\( 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 \)
\( 29^2 = 841 \)
Троугао је правоугли са катетама \(20 \text{ cm}\) и \(21 \text{ cm}\), и хипотенузом \(29 \text{ cm}\).
Површину троугла можемо израчунати преко катета:
\( P = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210 \text{ cm}^2 \)
Површину можемо изразити и преко хипотенузе и њој одговарајуће висине \(h_c\):
\( P = \frac{c \cdot h_c}{2} \Rightarrow 210 = \frac{29 \cdot h_c}{2} \)
\( 29 \cdot h_c = 420 \Rightarrow h_c = \frac{420}{29} \text{ cm} \)
Одговор: Висина која одговара страници \(c\) је \(\frac{420}{29} \text{ cm}\).
\( 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 \)
\( 29^2 = 841 \)
Троугао је правоугли са катетама \(20 \text{ cm}\) и \(21 \text{ cm}\), и хипотенузом \(29 \text{ cm}\).
Површину троугла можемо израчунати преко катета:
\( P = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210 \text{ cm}^2 \)
Површину можемо изразити и преко хипотенузе и њој одговарајуће висине \(h_c\):
\( P = \frac{c \cdot h_c}{2} \Rightarrow 210 = \frac{29 \cdot h_c}{2} \)
\( 29 \cdot h_c = 420 \Rightarrow h_c = \frac{420}{29} \text{ cm} \)
Одговор: Висина која одговара страници \(c\) је \(\frac{420}{29} \text{ cm}\).
