II.6. Примена Питагорине Теореме У Конструкцијама Дужи И Тачака На Бројевној Правој

а)

Корак 1. Записујемо број под кореном као збир квадрата

Број \( 5 \) записујемо као збир квадрата природних бројева: \[ 5 = 4 + 1 = 2^2 + 1^2 \] Према Питагорином теореми, хипотенуза правоуглог троугла са катетама \( 2 \) и \( 1 \) има дужину: \[ c = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} \]

Корак 2. Конструкција

Нацртај бројевну праву са почетком O(0) и јединичном дужи. У тачки која одговара броју 2 на бројевној правој, конструиши нормалу. На тој нормали одмери дуж дужине 1 и означи тачку M. Спој тачке O и M. Дуж OM је дужине \(\sqrt{5}\). Шестаром пренеси ову дужину из центра O на десну страну бројевне праве до тачке A. Конструишемо нормалу на бројевну праву у тачки \( 2 \) и на њој одмеравамо дуж дужине \( 1 \). Крај те дужи је тачка \( M \). Дуж \( OM \) има дужину \( \sqrt{5} \). Шестаром је преносимо из тачке \( O \) на бројевну праву и добијамо тачку \( A(\sqrt{5}) \).

б)

Корак 1. Користимо Питагорин пуж

Број \( 7 \) не можемо записати као збир квадрата два природна броја. Зато користимо дуж \( \sqrt{5} \) и два пута додајемо катету дужине \( 1 \): \[ \sqrt{6} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 1^2} = \sqrt{5 + 1} \] \[ \sqrt{7} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + 1^2} = \sqrt{6 + 1} \]

Корак 2. Конструкција

Користи већ конструисану дуж OA дужине \(\sqrt{5}\). У тачки A на бројевној правој подигни нормалу и одмери дуж дужине 1 да добијеш \(\sqrt{6}\) као хипотенузу. Затим на ту нову хипотенузу поново конструиши нормалу дужине 1. Добијена завршна хипотенуза има дужину \(\sqrt{7}\). Пренеси је шестаром на бројевну праву из тачке O да добијеш тачку B. Из тачке \( \sqrt{5} \) подижемо нормалу дужине \( 1 \) и спајамо њен крај са тачком \( O \). Добијена хипотенуза има дужину \( \sqrt{6} \). У крају те хипотенузе конструишемо нову нормалу дужине \( 1 \) на хипотенузу. Дуж од тачке \( O \) до краја те нормале има дужину \( \sqrt{7} \). Шестаром је преносимо на бројевну праву и добијамо тачку \( B(\sqrt{7}) \).

в)

Корак 1. Записујемо број под кореном као збир квадрата

\[ 10 = 9 + 1 = 3^2 + 1^2 \] \[ c = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} \]

Корак 2. Конструкција

На бројевној правој од тачке O(0) одмери дужину 3. У тој тачки конструиши нормалу дужине 1. Хипотенуза која спаја почетак O и крај те нормале има дужину \(\sqrt{10}\). Шестаром опиши лук из центра O и обележи тачку C на бројевној правој. У тачки \( 3 \) на бројевној правој конструишемо нормалу и на њој одмеравамо дуж дужине \( 1 \). Хипотенуза која спаја тачку \( O \) са крајем нормале има дужину \( \sqrt{10} \). Шестаром је преносимо на бројевну праву и добијамо тачку \( C(\sqrt{10}) \).

г)

Корак 1. Користимо већ конструисану дуж \( \sqrt{10} \)

\[ 11 = 10 + 1 = (\sqrt{10})^2 + 1^2 \] \[ c = \sqrt{(\sqrt{10})^2 + 1^2} = \sqrt{11} \]

Корак 2. Конструкција

Користи тачку C која одговара броју \(\sqrt{10}\). У тачки C подигни нормалу дужине 1. Спој добијену тачку са координатним почетком O. Та дуж има дужину \(\sqrt{11}\). Пренеси ову дужину шестаром на бројевну праву из тачке O и означи тачку D. У тачки \( C(\sqrt{10}) \) конструишемо нормалу на бројевну праву и на њој одмеравамо дуж дужине \( 1 \). Спајамо њен крај са тачком \( O \). Добијена хипотенуза има дужину \( \sqrt{11} \). Шестаром је преносимо на бројевну праву и добијамо тачку \( D(\sqrt{11}) \).

а)

\[ \sqrt{5} = \sqrt{2^2 + 1^2} \]

б)

\[ \sqrt{6} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 1^2} \] \[ \sqrt{7} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + 1^2} \]

в)

\[ \sqrt{10} = \sqrt{3^2 + 1^2} \]

г)

\[ \sqrt{11} = \sqrt{(\sqrt{10})^2 + 1^2} \]