II.6. Примена Питагорине Теореме У Конструкцијама Дужи И Тачака На Бројевној Правој

Увод у конструкцију ирационалних бројева

За конструкцију тачака на бројевној правој које одговарају ирационалним бројевима облика \( \sqrt{n} \), користимо Питагорину теорему \( c^2 = a^2 + b^2 \). Сваки ирационалан број посматрамо као дужину хипотенузе или катете правоуглог троугла чије су преостале странице већ познате или лакше за конструкцију.

а) Конструкција тачке \( A(\sqrt{5}) \)

Корак 1: Анализа броја \( \sqrt{5} \)

Број 5 можемо представити као збир квадрата два цела броја: \[ 5 = 4 + 1 = 2^2 + 1^2 \] Ово значи да је \( \sqrt{5} \) хипотенуза правоуглог троугла чије су катете дужине 2 и 1.

Корак 2: Поступак конструкције

Нацртај бројевну праву са почетком O(0) и јединичном дужи. У тачки која одговара броју 2 на бројевној правој, конструиши нормалу. На тој нормали одмери дуж дужине 1 и означи тачку M. Спој тачке O и M. Дуж OM је дужине \(\sqrt{5}\). Шестаром пренеси ову дужину из центра O на десну страну бројевне праве до тачке A. Дуж \( OM = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} \). Тачка пресека кружног лука (центра \( O \), полупречника \( OM \)) и бројевне праве је тражена тачка \( A \).

б) Конструкција тачке \( B(\sqrt{7}) \)

Корак 1: Анализа броја \( \sqrt{7} \)

Број 7 не можемо лако представити као збир квадрата целих бројева, па користимо Питагорин пуж или већ конструисане дужи. Можемо користити везу: \[ 7 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{2})^2 \] или ићи редом од \( \sqrt{5} \): \( \sqrt{6} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 1^2} \), а затим \( \sqrt{7} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + 1^2} \).

Корак 2: Поступак конструкције

Користи већ конструисану дуж OA дужине \(\sqrt{5}\). У тачки A на бројевној правој подигни нормалу и одмери дуж дужине 1 да добијеш \(\sqrt{6}\) као хипотенузу. Затим на ту нову хипотенузу поново конструиши нормалу дужине 1. Добијена завршна хипотенуза има дужину \(\sqrt{7}\). Пренеси је шестаром на бројевну праву из тачке O да добијеш тачку B.

в) Конструкција тачке \( C(\sqrt{10}) \)

Корак 1: Анализа броја \( \sqrt{10} \)

Број 10 представљамо као збир квадрата: \[ 10 = 9 + 1 = 3^2 + 1^2 \] Дакле, \( \sqrt{10} \) је хипотенуза правоуглог троугла са катетама 3 и 1.

Корак 2: Поступак конструкције

На бројевној правој од тачке O(0) одмери дужину 3. У тој тачки конструиши нормалу дужине 1. Хипотенуза која спаја почетак O и крај те нормале има дужину \(\sqrt{10}\). Шестаром опиши лук из центра O и обележи тачку C на бројевној правој.

г) Конструкција тачке \( D(\sqrt{11}) \)

Корак 1: Анализа броја \( \sqrt{11} \)

Користимо претходно нађену вредност \( \sqrt{10} \): \[ 11 = (\sqrt{10})^2 + 1^2 \] Дакле, \( \sqrt{11} \) је хипотенуза троугла чије су катете \( \sqrt{10} \) и 1.

Корак 2: Поступак конструкције

Користи тачку C која одговара броју \(\sqrt{10}\). У тачки C подигни нормалу дужине 1. Спој добијену тачку са координатним почетком O. Та дуж има дужину \(\sqrt{11}\). Пренеси ову дужину шестаром на бројевну праву из тачке O и означи тачку D.

а) \( \sqrt{5} = \sqrt{2^2 + 1^2} \) (катете 2 и 1) б) \( \sqrt{7} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + 1^2} \) где је \( \sqrt{6} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 1^2} \) в) \( \sqrt{10} = \sqrt{3^2 + 1^2} \) (катете 3 и 1) г) \( \sqrt{11} = \sqrt{(\sqrt{10})^2 + 1^2} \) (катете \( \sqrt{10} \) и 1)