Најважније из лекције
Питагорина теорема: \( c^2 = a^2 + b^2 \) (за правоугли троугао).
Квадрат и правоугаоник: Дијагонала квадрата \( d = a\sqrt{2} \); дијагонала правоугаоника \( d = \sqrt{a^2 + b^2} \).
Једнакостранични троугао: \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \), \( P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \), \( R = \frac{a\sqrt{3}}{3} \), \( r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \).
Ромб: \( a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \), \( P = \frac{d_1 d_2}{2} \).
Трапези: Једнакокраки: \( c^2 = h^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 \); Правоугли: \( c^2 = h^2 + (a-b)^2 \).
Растојање две тачке: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \).
Квадрат и правоугаоник: Дијагонала квадрата \( d = a\sqrt{2} \); дијагонала правоугаоника \( d = \sqrt{a^2 + b^2} \).
Једнакостранични троугао: \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \), \( P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \), \( R = \frac{a\sqrt{3}}{3} \), \( r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \).
Ромб: \( a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \), \( P = \frac{d_1 d_2}{2} \).
Трапези: Једнакокраки: \( c^2 = h^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 \); Правоугли: \( c^2 = h^2 + (a-b)^2 \).
Растојање две тачке: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \).
Површина квадрата над хипотенузом правоуглог троугла једнака је збиру површина квадрата над катетама тог троугла.
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
\( a, b \) – дужине катета; \( c \) – дужина хипотенузе
Катете: странице које заклапају прави угао (\( 90^\circ \)).
Хипотенуза: најдужа страница, налази се наспрам правог угла.
Из основне формуле следи израчунавање катета:
\[ a^2 = c^2 - b^2 \quad \text{и} \quad b^2 = c^2 - a^2 \]
Површина, обим и описани круг:
- Обим: \( O = a + b + c \)
- Површина: \( P = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{c \cdot h_c}{2} \)
- Полупречник описане кружнице: \( R = \frac{c}{2} \) (центар се налази на средини хипотенузе)
Катете правоуглог троугла су \( a = 6\text{ cm} \) и \( b = 8\text{ cm} \). Израчунај дужину хипотенузе \( c \) и висину \( h_c \).
\( c^2 = a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \implies c = \sqrt{100} = 10\text{ cm} \).
Површина је \( P = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24\text{ cm}^2 \).
Како је \( P = \frac{c \cdot h_c}{2} \), важи \( 24 = \frac{10 \cdot h_c}{2} = 5h_c \implies h_c = \frac{24}{5} = 4{,}8\text{ cm} \).
Површина је \( P = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24\text{ cm}^2 \).
Како је \( P = \frac{c \cdot h_c}{2} \), важи \( 24 = \frac{10 \cdot h_c}{2} = 5h_c \implies h_c = \frac{24}{5} = 4{,}8\text{ cm} \).
Ако за странице троугла \( a, b \) и \( c \) важи једнакост \( c^2 = a^2 + b^2 \), онда је тај троугао правоугли, а угао наспрам странице \( c \) је прав угао.
Питагорина тројка: свака тројка природних бројева \( (a, b, c) \) која задовољава једначину \( a^2 + b^2 = c^2 \).
| Основне Питагорине тројке \( (a, b, c) \) | Провера (\( a^2 + b^2 = c^2 \)) |
|---|---|
| \( (3, 4, 5) \) | \( 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 \) |
| \( (5, 12, 13) \) | \( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 \) |
| \( (8, 15, 17) \) | \( 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2 \) |
| \( (7, 24, 25) \) | \( 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2 \) |
| \( (20, 21, 29) \) | \( 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2 \) |
Испитај да ли је троугао са страницама \( 9\text{ cm}, 12\text{ cm} \) и \( 15\text{ cm} \) правоугли.
Проверавамо најдужу страницу: \( c = 15 \).
\( a^2 + b^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \)
\( c^2 = 15^2 = 225 \)
Пошто је \( 9^2 + 12^2 = 15^2 \), на основу обратне Питагорине теореме троугао јесте правоугли.
\( a^2 + b^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \)
\( c^2 = 15^2 = 225 \)
Пошто је \( 9^2 + 12^2 = 15^2 \), на основу обратне Питагорине теореме троугао јесте правоугли.
Правоугаоник: Дијагонала \( d \) са страницама \( a \) и \( b \) образује правоугли троугао:
\[ d^2 = a^2 + b^2 \implies d = \sqrt{a^2 + b^2} \]
Квадрат: Дијагонала дели квадрат странице \( a \) на два једнакокрако-правоугла троугла:
\[ d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \implies d = a\sqrt{2} \]
\[ a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{d\sqrt{2}}{2} \]
Троугао са угловима \( 45^\circ - 45^\circ - 90^\circ \): Катете су једнаке (\( a \)), а хипотенуза је \( a\sqrt{2} \).
Ако је дијагонала квадрата \( d = 8\text{ cm} \), израчунај његову страницу \( a \) и површину \( P \).
\( a = \frac{d\sqrt{2}}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\text{ cm} \).
\( P = a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32\text{ cm}^2 \) (или преко дијагонале: \( P = \frac{d^2}{2} = \frac{64}{2} = 32\text{ cm}^2 \)).
\( P = a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32\text{ cm}^2 \) (или преко дијагонале: \( P = \frac{d^2}{2} = \frac{64}{2} = 32\text{ cm}^2 \)).
Једнакокраки троугао: Висина на основицу \( h_a \) полови основицу \( a \) и образује правоугли троугао са катетама \( \frac{a}{2}, h_a \) и хипотенузом \( b \):
\[ b^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h_a^2 \implies h_a = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} \]
Површина: \( P = \frac{a \cdot h_a}{2} = \frac{b \cdot h_b}{2} \), Обим: \( O = a + 2b \).
Једнакостранични троугао: Све странице су једнаке (\( a \)):
\[ h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \qquad P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \]
\[ R = \frac{2}{3}h = \frac{a\sqrt{3}}{3} \qquad r = \frac{1}{3}h = \frac{a\sqrt{3}}{6} \qquad (R = 2r) \]
Троугао са угловима \( 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ \):
Катета наспрам угла од \( 30^\circ \) једнака је половини хипотенузе (\( \frac{c}{2} \)), а катета наспрам угла од \( 60^\circ \) износи \( \frac{c\sqrt{3}}{2} \).
Израчунај висину и површину једнакостраничног троугла странице \( a = 6\text{ cm} \).
Висина: \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\text{ cm} \).
Површина: \( P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\text{ cm}^2 \).
Површина: \( P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\text{ cm}^2 \).
Ромб: Дијагонале се полове под правим углом и деле ромб на 4 подударна правоугла троугла:
\[ a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \]
Површина: \( P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = a \cdot h \)
Једнакокраки трапез: Катете карактеристичног правоуглог троугла су висина \( h \) и одсечак \( x = \frac{a-b}{2} \), а хипотенуза је крак \( c \):
\[ c^2 = h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2 \]
Дијагонала \( d \): \( d^2 = h^2 + \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 \)
Правоугли трапез: Правоугли троугао чине висина \( h \), одсечак \( x = a - b \) и дужи крак \( c \):
\[ c^2 = h^2 + (a - b)^2 \]
Дијагонале ромба су \( d_1 = 12\text{ cm} \) и \( d_2 = 16\text{ cm} \). Одреди страницу \( a \) и висину \( h \) ромба.
\( \frac{d_1}{2} = 6\text{ cm}, \quad \frac{d_2}{2} = 8\text{ cm} \)
\( a^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \implies a = 10\text{ cm} \).
Површина: \( P = \frac{12 \cdot 16}{2} = 96\text{ cm}^2 \).
Како је \( P = a \cdot h \implies 96 = 10 \cdot h \implies h = 9{,}6\text{ cm} \).
\( a^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \implies a = 10\text{ cm} \).
Површина: \( P = \frac{12 \cdot 16}{2} = 96\text{ cm}^2 \).
Како је \( P = a \cdot h \implies 96 = 10 \cdot h \implies h = 9{,}6\text{ cm} \).
Питагорин пуж (спирала): Низ надовезаних правоуглих троуглова где је катета сваког следећег троугла једнака 1, а друга катета је хипотенуза претходног. Омогућава конструкцију дужи \( \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}, \sqrt{5}, \dots \).
Конструише се прав угао и на крацима се нанесу дужи \( a \) и \( b \). Дужина хипотенузе је \( \sqrt{a^2 + b^2} \).
Конструише се прав угао, на једном краку нанесе катета \( a \), а из те тачке се кружним луком полупречника \( c \) пресече други крак. Добијена катета има дужину \( \sqrt{c^2 - a^2} \).
Конструисане ирационалне дужи се шестаром преносе на бројевну праву улево (за негативне) или удесно (за позитивне вредности) у односу на задату тачку.
Како се може конструисати дуж дужине \( \sqrt{5}\text{ cm} \)?
Пошто је \( 5 = 2^2 + 1^2 \), дуж \( \sqrt{5} \) се конструише као хипотенуза правоуглог троугла чије су катете дужина \( 2\text{ cm} \) и \( 1\text{ cm} \).
Растојање између било које две тачке \( A(x_1, y_1) \) и \( B(x_2, y_2) \) израчунава се као дужина хипотенузе одговарајућег правоуглог троугла:
\[ d(A, B) = |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Тачке на истој оси или паралелне са осом:
- Ако је \( y_1 = y_2 \): \( |AB| = |x_2 - x_1| \)
- Ако је \( x_1 = x_2 \): \( |AB| = |y_2 - y_1| \)
Израчунај растојање између тачака \( A(-2, 1) \) и \( B(4, 9) \).
\( |AB| = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (9 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунај страницу квадрата чија је дијагонала \( d = 6\sqrt{2}\text{ cm} \).
Користимо формулу за дијагоналу квадрата:
\[ d = a\sqrt{2} \implies 6\sqrt{2} = a\sqrt{2} \implies a = 6\text{ cm} \]
Задатак 2 (средњи): Основица једнакокраког троугла је \( a = 10\text{ cm} \), а крак је \( b = 13\text{ cm} \). Израчунај висину \( h_a \) и површину тог троугла.
Половина основице је \( \frac{a}{2} = \frac{10}{2} = 5\text{ cm} \).
Применом Питагорине теореме: \[ h_a^2 = b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \implies h_a = \sqrt{144} = 12\text{ cm} \] Површина: \[ P = \frac{a \cdot h_a}{2} = \frac{10 \cdot 12}{2} = 60\text{ cm}^2 \]
Применом Питагорине теореме: \[ h_a^2 = b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \implies h_a = \sqrt{144} = 12\text{ cm} \] Површина: \[ P = \frac{a \cdot h_a}{2} = \frac{10 \cdot 12}{2} = 60\text{ cm}^2 \]
Задатак 3 (средњи): Једнакокраки трапез има основице \( a = 20\text{ cm}, b = 8\text{ cm} \) и крак \( c = 10\text{ cm} \). Израчунај висину \( h \) и површину трапеза.
Одсечак на основици је \( x = \frac{a - b}{2} = \frac{20 - 8}{2} = 6\text{ cm} \).
Висина: \[ h^2 = c^2 - x^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64 \implies h = 8\text{ cm} \] Површина трапеза: \[ P = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{20 + 8}{2} \cdot 8 = 14 \cdot 8 = 112\text{ cm}^2 \]
Висина: \[ h^2 = c^2 - x^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64 \implies h = 8\text{ cm} \] Површина трапеза: \[ P = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{20 + 8}{2} \cdot 8 = 14 \cdot 8 = 112\text{ cm}^2 \]
Задатак 4 (тежак): У координатној равни дата су темена троугла \( A(1, 1) \), \( B(7, 1) \) и \( C(4, 5) \). Докажи да је троугао \( ABC \) једнакокраки и израчунај његов обим и површину.
1. Израчунавамо дужине страница преко формуле за растојање две тачке:
\[ |AB| = |7 - 1| = 6 \]
\[ |AC| = \sqrt{(4 - 1)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
\[ |BC| = \sqrt{(4 - 7)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
Пошто је \( |AC| = |BC| = 5 \), троугао \( ABC \) је једнакокраки са основицом \( AB = 6 \) и крацима \( b = 5 \).
2. Обим: \( O = 6 + 5 + 5 = 16 \).
3. Висина на основицу: \( h^2 = b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 \implies h = 4 \).
Површина: \( P = \frac{a \cdot h}{2} = \frac{6 \cdot 4}{2} = 12 \).
2. Обим: \( O = 6 + 5 + 5 = 16 \).
3. Висина на основицу: \( h^2 = b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 \implies h = 4 \).
Површина: \( P = \frac{a \cdot h}{2} = \frac{6 \cdot 4}{2} = 12 \).
