Изабери решење задатка:
Задатак 1 (бесплатан)
Кратко решење
\( P_{AREF} = 1296 \Rightarrow a_{AREF}^2 = 36^2 \Rightarrow a_{AREF} = 36 \)
\( a_{ABCD} = 2 \cdot a_{AREF} = 2 \cdot 36 = 72 \)
\( AC = a_{ABCD}\sqrt{2} = 72\sqrt{2} \)
\( EC = \frac{AC}{2} = \frac{72\sqrt{2}}{2} = 36\sqrt{2} \)
За квадрат \( GHIE \), \( EC \) је дијагонала:
\( d_{GHIE} = a_{GHIE}\sqrt{2} = 36\sqrt{2} \Rightarrow a_{GHIE} = 36 \)
Тачке \( N \) и \( L \) су средишта страница \( IH \) и \( IE \):
\( NI = \frac{a_{GHIE}}{2} = \frac{36}{2} = 18 \)
\( LI = \frac{a_{GHIE}}{2} = \frac{36}{2} = 18 \)
\( P_{NLMP} = NL^2 \)
Примена Питагорине теореме на \( \triangle NIL \):
\( NL^2 = NI^2 + LI^2 = 18^2 + 18^2 = 324 + 324 = 648 \)
\( P_{NLMP} = 648 \)
Детаљно решење
Корак 1: Анализа слике и уочавање геометријских веза
На основу слике 3, видимо велики квадрат \( ABCD \). Унутар њега су конструисани мањи квадрати тако што се дијагонала великог квадрата \( AC \) користи као основа за даљу деобу. Тачка \( E \) је пресек дијагонала квадрата \( ABCD \). Квадрат \( AREF \) има страницу која је половина странице великог квадрата.Корак 2: Израчунавање странице квадрата AREF
Површина квадрата \( AREF \) је \( P_1 = 1296 \). Обележимо његову страницу са \( a_1 \). \[ a_1^2 = 1296 \] Пошто је \( 30^2 = 900 \) и \( 40^2 = 1600 \), а број се завршава на 6, испитујемо \( 34^2 \) и \( 36^2 \). \[ 36 \cdot 36 = 1296 \] Дакле, \( a_1 = 36 \). Ова страница \( a_1 \) је истовремено половина странице \( AB \) великог квадрата, па је страница великог квадрата \( a = 2 \cdot 36 = 72 \).Корак 3: Одређивање дијагонале квадрата ABCD
Половина дијагонале квадрата \( ABCD \) је дуж \( EC \). У квадрату је \( d = a\sqrt{2} \), па је: \[ AC = 72\sqrt{2} \] \[ EC = \frac{AC}{2} = \frac{72\sqrt{2}}{2} = 36\sqrt{2} \]Корак 4: Анализа квадрата GHIE
На слици видимо да квадрат \( GHIE \) има дијагоналу \( EC \). Међутим, пажљивијим посматрањем структуре „Забавне стране“ и геометријских односа код оваквих конструкција, уочавамо да су квадрати \( GHIE \), \( ELJK \) и \( NLMP \) у међусобном односу где је страница једног повезана са дијагоналама или деловима претходних. Квадрат \( GHIE \) има страницу \( a_{GHIE} \). Из слике се види да је \( EC \) дијагонала тог квадрата. \[ a_{GHIE}\sqrt{2} = EC = 36\sqrt{2} \Rightarrow a_{GHIE} = 36 \] Површина \( P_{GHIE} = 36^2 = 1296 \).Корак 5: Израчунавање површине квадрата NLMP
Посматрајући квадрат \( GHIE \), тачка \( N \) је средиште странице \( IH \), а тачка \( L \) је средиште странице \( IE \). Квадрат \( NLMP \) је конструисан над дужи \( NL \). Дуж \( NL \) је хипотенуза правоуглог троугла \( NIL \). Како је \( NI = LI = \frac{36}{2} = 18 \), примењујемо Питагорину теорему: \[ NL^2 = NI^2 + LI^2 \] \[ NL^2 = 18^2 + 18^2 = 324 + 324 = 648 \] Површина квадрата \( NLMP \) је заправо \( NL^2 \). \[ P_{NLMP} = 648 \]Кратак запис решења:
\( a_{AREF} = \sqrt{1296} = 36 \)
\( a_{ABCD} = 2 \cdot 36 = 72 \Rightarrow d_{ABCD} = 72\sqrt{2} \)
\( EC = \frac{72\sqrt{2}}{2} = 36\sqrt{2} \)
\( a_{GHIE} = \frac{EC}{\sqrt{2}} = \frac{36\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 36 \)
\( NI = LI = \frac{36}{2} = 18 \)
\( P_{NLMP} = NL^2 = 18^2 + 18^2 = 324 + 324 = 648 \)
