II.7. Растојање Две Тачке У Координатном Систему

Корак 1: Очитавање координата са скице

Са слике 7.6 можемо одредити координате пристаништа: - Мирна лука: \( L(0, 2) \) - Острво стена: \( S_1(4, 5) \) - Острво сунца: \( S_2(5, 3) \) На скици је такође приказана и помоћна путања повратка до тачке \( (2, 1) \), па до луке \( L(0, 2) \), односно проверимо путању: Са слике 7.6 стрелице показују путању: - Од Мирне луке \( L(0, 2) \) праволинијски до Острва стена \( (4, 5) \). - Од Острва стена \( (4, 5) \) до Острва сунца \( (5, 3) \). - Од Острва сунца \( (5, 3) \) пловидба иде до тачке на путу \( (2, 1) \), а затим до Мирне луке \( (0, 2) \). Израчунајмо растојања у јединичним дужима: 1. Од Мирне луке \( L(0, 2) \) до Острва стена \( S_1(4, 5) \): \[ d_1 = \sqrt{(4 - 0)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] 2. Од Острва стена \( S_1(4, 5) \) до Острва сунца \( S_2(5, 3) \): \[ d_2 = \sqrt{(5 - 4)^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] 3. Повратак од Острва сунца \( S_2(5, 3) \) до Мирне луке \( L(0, 2) \) преко преломне тачке \( P(2, 1) \): - Од \( S_2(5, 3) \) до \( P(2, 1) \): \[ d_{3a} = \sqrt{(2 - 5)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \] - Од \( P(2, 1) \) до \( L(0, 2) \): \[ d_{3b} = \sqrt{(0 - 2)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] Укупна дужина деонице од Острва сунца до Мирне луке у јединичним дужима је: \[ d_3 = d_{3a} + d_{3b} = \sqrt{13} + \sqrt{5} \] Пошто једна јединична дуж износи \( 2\text{ km} \), стварне дужине деоница у километрима износе: - \( s_1 = 2 \cdot d_1 = 2 \cdot 5 = 10\text{ km} \) - \( s_2 = 2 \cdot d_2 = 2\sqrt{5}\text{ km} \approx 2 \cdot 2,236 = 4,472\text{ km} \) - \( s_3 = 2 \cdot d_3 = 2(\sqrt{13} + \sqrt{5})\text{ km} \approx 2(3,606 + 2,236) = 2 \cdot 5,842 = 11,684\text{ km} \)

а)

Корак 2: Израчунавање укупног пређеног пута

Укупан пут \( s \) који је прешао бродић износи: \[ s = s_1 + s_2 + s_3 = 10 + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{13} + 2\sqrt{5} = 10 + 4\sqrt{5} + 2\sqrt{13} \] Приближна вредност је: \[ s \approx 10 + 4 \cdot 2,236 + 2 \cdot 3,606 = 10 + 8,944 + 7,212 = 26,156\text{ km} \] Пошто је \( 26,16\text{ km} > 25\text{ km} \), пут који је прешао бродић јесте дужи од \( 25\text{ km} \).

б)

Корак 3: Израчунавање укупног времена излета

Време проведено у пловидби израчунава се помоћу формуле \( t = \frac{s}{v} \): - Време пловидбе од Мирне луке до Острва стена: \[ t_1 = \frac{s_1}{v_1} = \frac{10}{20} = 0,5\text{ h} = 30\text{ min} \] - Време пловидбе од Острва стена до Острва сунца: \[ t_2 = \frac{s_2}{v_2} = \frac{2\sqrt{5}}{16} = \frac{\sqrt{5}}{8}\text{ h} \approx \frac{2,236}{8}\text{ h} \approx 0,28\text{ h} \approx 16,8\text{ min} \] - Време пловидбе од Острва сунца до Мирне луке: \[ t_3 = \frac{s_3}{v_3} = \frac{2(\sqrt{13} + \sqrt{5})}{22} = \frac{\sqrt{13} + \sqrt{5}}{11}\text{ h} \approx \frac{3,606 + 2,236}{11}\text{ h} = \frac{5,842}{11}\text{ h} \approx 0,531\text{ h} \approx 31,9\text{ min} \] Укупно време пловидбе износи: \[ t_{\text{пл}} = t_1 + t_2 + t_3 \approx 30\text{ min} + 16,8\text{ min} + 31,9\text{ min} \approx 78,7\text{ min} \approx 1\text{ h } 19\text{ min} \] Време задржавања (паузе): - Обилазак тврђаве: \( 45\text{ min} \) - Боравак на плажи: \( 2,5\text{ h} = 150\text{ min} \) - Укупно време пауза: \[ t_{\text{пауза}} = 45\text{ min} + 150\text{ min} = 195\text{ min} = 3\text{ h } 15\text{ min} \] Укупно време трајања целог излета: \[ t_{\text{укупно}} = t_{\text{пл}} + t_{\text{пауза}} \approx 1\text{ h } 19\text{ min} + 3\text{ h } 15\text{ min} = 4\text{ h } 34\text{ min} \] Како су кренули у \( 10.00\text{ h} \), време повратка је приближно: \[ 10.00\text{ h} + 4\text{ h } 34\text{ min} = 14.34\text{ h} \] Будући да је \( 14.34\text{ h} > 14.30\text{ h} \), Миша и Маша се неће вратити пре 14.30.

\( s_1 = 2 \cdot \sqrt{4^2 + 3^2} = 10\text{ km} \) \( s_2 = 2 \cdot \sqrt{1^2 + (-2)^2} = 2\sqrt{5} \approx 4,47\text{ km} \) \( s_3 = 2 \cdot (\sqrt{3^2 + 2^2} + \sqrt{2^2 + 1^2}) = 2(\sqrt{13} + \sqrt{5}) \approx 11,68\text{ km} \) \( s = 10 + 4\sqrt{5} + 2\sqrt{13} \approx 26,16\text{ km} > 25\text{ km} \) а) Да. \( t_1 = \frac{10}{20} = 0,5\text{ h} = 30\text{ min} \) \( t_2 \approx \frac{4,47}{16} \approx 0,28\text{ h} \approx 17\text{ min} \) \( t_3 \approx \frac{11,68}{22} \approx 0,53\text{ h} \approx 32\text{ min} \) \( t_{\text{укупно}} \approx 30 + 17 + 32 + 45 + 150 = 274\text{ min} = 4\text{ h } 34\text{ min} \) Повратак око \( 14.34\text{ h} > 14.30\text{ h} \). б) Не.