Израчунај вредности степена: а) \( 4^3 \); б) \( (-2)^5 \); в) \( \left(\frac{2}{3}\right)^4 \); г) \( (-0,3)^3 \); д) \( 0^{10} \); ђ) \( \left(-1\frac{2}{3}\right)^4 \); е) \( (-1)^9 \); ж) \( (\sqrt{6})^4 \).

а) Корак 1: Одређујемо основу и изложилац Основа је \( 4 \), а изложилац је \( 3 \), па број \( 4 \) множимо самим собом три пута. Корак 2: Израчунавамо \[ 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64 \] б) Корак 1: Одређујемо знак Основа је негативна и налази се у загради, а изложилац \( 5 \) је непаран. Зато је резултат негативан. Корак 2: Израчунавамо \[ (-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \] \[ = 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 16 \cdot (-2) = -32 \] в) Корак 1: Степенујемо броји...

Израчунај вредност степена ако је: а) основа 5, а изложилац 2; б) основа \( -\frac{3}{4} \), а изложилац 1; в) основа \( \sqrt{2} \), а изложилац 4; г) основа -1, а изложилац 6.

а) Корак 1: Одређивање основе и изложиоца Основа је \( 5 \), а изложилац је \( 2 \). Степен \( 5^2 \) значи да се број \( 5 \) као чинилац појављује два пута. Корак 2: Израчунавање \[ 5^2 = 5 \cdot 5 = 25 \] б) Корак 1: Одређивање основе и изложиоца Основа је \( -\frac{3}{4} \), а изложилац је \( 1 \). Користимо правило да за сваки реалан број \( a \) важи \( a^1 = a \). Корак 2: Израчунавање \[ \left(-\frac{3}{4}\right)^1 = -\frac{3}{4} \] в) Корак 1: Одређивање основе и изложиоца Основа је...

Који бројеви треба да замене знак ☺ тако да једнакости буду тачне? а) \( 5^☺ = 625 \); б) \( (☺)^3 = -27 \); в) \( 4^☺ = 64 \); г) \( (☺)^3 = -0,008 \); д) \( (-\sqrt{7})^☺ = -7\sqrt{7} \); ђ) \( \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^☺ = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Број који замењује знак ☺ означавамо са \( x \). а) Корак 1: Број 625 записујемо као степен са основом 5 \[ 625 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4 \] Корак 2: Изједначавамо изложиоце Једнакост постаје \( 5^x = 5^4 \). Основе су једнаке, па су једнаки и изложиоци: \( x = 4 \). б) Корак 1: Број \( -27 \) записујемо као куб Негативан број добијамо степеновањем негативне основе непарним изложиоцем. Како је \( 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 \), испитујемо основу \( -3 \): \[ (-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (...

Који од знакова или = треба да замене знак ☺ тако да тврђења буду тачна? а) \( 5^2 ☺ (-5)^3 \); б) \( -5^4 ☺ (-5)^3 \); в) \( -5^4 ☺ 5^4 \); г) \( -5^4 ☺ -(-5)^4 \); д) \( (-5)^4 ☺ 5^4 \); ђ) \( -5^6 ☺ (-5)^7 \); е) \( (-5)^6 ☺ -(-5)^7 \); ж) \( -(-5)^6 ☺ 5^6 \); з) \( -(-(-5))^5 ☺ -(-5)^5 \).

Корак 1: Правила за одређивање знака Ако је основа негативна и у загради, паран изложилац даје позитиван број, а непаран изложилац негативан број. Ако је знак минус испред степена, прво рачунамо степен, па резултату променимо знак. Потребне вредности степена су: \[ 5^2 = 25, \quad 5^3 = 125, \quad 5^4 = 625, \quad 5^5 = 3125, \quad 5^6 = 15625, \quad 5^7 = 78125 \] Корак 2: Упоређивање а) \[ 5^2 = 25 \quad \text{и} \quad (-5)^3 = -125 \] Позитиван број је већи од негативног, па је \( 25 > -12...

Који природни бројеви могу да замене знак ☺ тако да једнакости буду тачне? а) \( 1^☺ = 1 \); б) \( (-1)^☺ = 1 \); в) \( 1^☺ = -1 \); г) \( (-1)^☺ = -1 \); д) \( 1^☺ = 0 \); ђ) \( (-1)^☺ = 0 \); е) \( 0^☺ = 0 \); ж) \( 0^☺ = 1 \); з) \( -1^☺ = -1 \).

Корак 1: Подсећање на правила Знамо да за сваки природан број \( n \) важи \( 1^n = 1 \) и \( 0^n = 0 \). Степен негативног броја са парним изложиоцем је позитиван, а са непарним изложиоцем је негативан. а) Јединица на сваки природан изложилац даје 1, па једнакост \( 1^☺ = 1 \) важи за сваки природан број \( ☺ \). б) Да би \( (-1)^☺ \) било једнако \( 1 \), изложилац мора бити паран. Дакле, \( ☺ \) може бити сваки паран природан број: \( 2, 4, 6, \dots \) в) Јединица на сваки природан изложил...

Степен Чији Је Изложилац Природан Број

Најважније из лекције

Шта је степен: Запис \( a^n \) представља множење броја \( a \) самим собом \( n \) пута. Број \( a \) је основа, а \( n \) је изложилац.
Специјални случајеви: \( a^1 = a \), \( 1^n = 1 \), \( 0^n = 0 \).
Негативна основа: Ако је у загради \( (-a)^n \), резултат је позитиван за парно \( n \), а негативан за непарно \( n \).
Пажња: \( (-2)^2 = 4 \), али \( -2^2 = -4 \) јер у другом случају минус не припада основи која се степенује.

За реалан број \( a \) и природан број \( n \), \( n \)-ти степен броја \( a \) је производ у коме се као чинилац појављује искључиво број \( a \) и то тачно \( n \) пута.

\[ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ чинилаца}} \]

У запису \( a^n \):
\( a \) се назива основа или база (број који се множи сам са собом).
\( n \) се назива изложилац или експонент (број који показује колико се пута основа појављује као чинилац).

Степен \( a^2 \) назива се квадрат броја \( a \).
Степен \( a^3 \) назива се куб броја \( a \).

\( 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 \) (основа је 3, изложилац је 4)
\( \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{27} \)

Запиши производ у облику степена, а затим одреди основу и изложилац: \( \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \).

Производ записан у облику степена је \( (\sqrt{5})^6 \).
Основа је \( \sqrt{5} \).
Изложилац је 6.

За сваки реалан број \( a \) важи: \( a^1 = a \).
За сваки природан број \( n \) важи: \( 1^n = 1 \) и \( 0^n = 0 \).

\( 15^1 = 15 \)
\( 1^{2023} = 1 \)
\( 0^{55} = 0 \)

Степеновањем негативног броја парним изложиоцем (2, 4, 6...) добија се позитиван број.
Степеновањем негативног броја непарним изложиоцем (1, 3, 5...) добија се негативан број.

При записивању степена негативног броја обавезно се користе заграде! Запис \( (-a)^n \) није исто што и \( -a^n \) када је \( n \) паран број.

Парни изложилац: \( (-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16 \)
Непарни изложилац: \( (-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 \)
Разлика у запису: \( (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9 \), али \( -3^2 = -(3 \cdot 3) = -9 \)

Израчунај вредност израза: \( (-1)^4 + (-1)^5 \).

Први сабирак има паран изложилац: \( (-1)^4 = 1 \).
Други сабирак има непаран изложилац: \( (-1)^5 = -1 \).
Збир је: \( 1 + (-1) = 0 \).

Степени се често користе за краће записивање великих бројева или за записивање броја у облику производа његових простих чинилаца.

Број 54 растављен на просте чиниоце: \( 54 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \).
Користећи степен, ово записујемо краће: \( 54 = 2 \cdot 3^3 \).

Задаци за вежбање

Лак: Израчунај вредност степена:
а) \( 4^3 \)
б) \( (-5)^2 \)

а) \( 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 \)
б) Овде је основа негативна, а изложилац паран, па ће резултат бити позитиван: \( (-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25 \)

Средњи: Напиши број 144 као производ простих чинилаца, а затим тај производ запиши у облику степена.

Дељењем са простим бројевима добијамо:
\( 144 = 2 \cdot 72 = 2 \cdot 2 \cdot 36 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \)
У облику степена: \( 144 = 2^4 \cdot 3^2 \)

Тежак: Израчунај вредност израза: \( -2^4 + (-2)^4 - (-3)^3 \).

Рачунамо сваки део посебно:
\( -2^4 = -(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16 \) (минус није степенован)
\( (-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16 \) (паран изложилац)
\( (-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27 \) (непаран изложилац)

Замењујемо у израз:
\( -16 + 16 - (-27) = 0 + 27 = 27 \)

III.1. Степен Чији Је Изложилац Природан Број

Изабери решење задатка:

Корак 1: Подсећање на правила

а)

б)

в)

г)

д)

ђ)

е)

ж)

з)

Кратак запис решења:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

Географија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Изабери решење задатка:

Кратко решење

Детаљно решење

Корак 1: Подсећање на правила

а)

б)

в)

г)

д)

ђ)

е)

ж)

з)

Кратак запис решења:

Задаци за вежбање

Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

Географија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова: