Најважније из лекције
Множење монома:
1. Помноже се коефицијенти (бројеви испред променљивих).
2. Помноже се променљиве (слова) применом правила \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).
Пример: \( 4a^2b \cdot (-3ab^3) = -12a^3b^4 \).
Степеновање монома: Сваки чинилац у моному се степенује посебно: \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \).
1. Помноже се коефицијенти (бројеви испред променљивих).
2. Помноже се променљиве (слова) применом правила \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).
Пример: \( 4a^2b \cdot (-3ab^3) = -12a^3b^4 \).
Степеновање монома: Сваки чинилац у моному се степенује посебно: \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \).
Производ два монома добија се тако што се помноже њихови коефицијенти (бројеви), а затим се помноже њихови променљиви делови (слова).
Приликом множења монома, константе и променљиве се могу груписати захваљујући својствима комутативности и асоцијативности множења.
Множење константе и монома:
\( 3 \cdot 2x = (3 \cdot 2)x = 6x \)
\( -2 \cdot a \cdot 5 = -2 \cdot 5 \cdot a = -10a \)
\( 3 \cdot 2x = (3 \cdot 2)x = 6x \)
\( -2 \cdot a \cdot 5 = -2 \cdot 5 \cdot a = -10a \)
Израчунај производ: \( -0,25 \cdot b^3 \cdot (-8) \)
Групишемо константе:
\( -0,25 \cdot (-8) \cdot b^3 = 2b^3 \)
\( -0,25 \cdot (-8) \cdot b^3 = 2b^3 \)
Да бисмо помножили променљиве делове монома, морамо се подсетити основних правила за рад са степенима.
За \( a, b \in \mathbb{R} \) и \( m, n \in \mathbb{N} \):
1. Множење степена истих основа: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
2. Степеновање степена: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
3. Степен производа: \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \)
1. Множење степена истих основа: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
2. Степеновање степена: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
3. Степен производа: \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \)
Када множимо променљиве делове монома који имају исту основу, њихове изложиоце (степене) сабирамо. Ако променљива нема написан изложилац, подразумева се да је он \( 1 \) (нпр. \( x = x^1 \)).
Множење монома са једном променљивом:
\( 2x \cdot 3x^2 = (2 \cdot 3) \cdot (x^1 \cdot x^2) = 6 \cdot x^{1+2} = 6x^3 \)
Множење монома са више променљивих:
\( x^2 \cdot y \cdot x^3 = (x^2 \cdot x^3) \cdot y = x^{2+3} \cdot y = x^5y \)
\( 2x \cdot 3x^2 = (2 \cdot 3) \cdot (x^1 \cdot x^2) = 6 \cdot x^{1+2} = 6x^3 \)
Множење монома са више променљивих:
\( x^2 \cdot y \cdot x^3 = (x^2 \cdot x^3) \cdot y = x^{2+3} \cdot y = x^5y \)
Израчунај производ монома: \( 2xy^2 \cdot \frac{1}{4}x^2y \)
Множимо коефицијент са коефицијентом, \( x \) са \( x \), и \( y \) са \( y \):
\( \left(2 \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot (x^1 \cdot x^2) \cdot (y^2 \cdot y^1) = \frac{1}{2}x^3y^3 \)
\( \left(2 \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot (x^1 \cdot x^2) \cdot (y^2 \cdot y^1) = \frac{1}{2}x^3y^3 \)
Степеновање степена: Користимо правило \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \) и \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).
Множење монома: Записујемо степен као вишеструко множење истог монома.
Израчунавање \( (3x^4)^2 \):
1. начин: \( 3^2 \cdot (x^4)^2 = 9x^{4 \cdot 2} = 9x^8 \)
2. начин: \( 3x^4 \cdot 3x^4 = (3 \cdot 3) \cdot (x^4 \cdot x^4) = 9x^8 \)
1. начин: \( 3^2 \cdot (x^4)^2 = 9x^{4 \cdot 2} = 9x^8 \)
2. начин: \( 3x^4 \cdot 3x^4 = (3 \cdot 3) \cdot (x^4 \cdot x^4) = 9x^8 \)
Степенуј дати моном: \( (x^2y)^3 \)
Користећи први начин (правила степеновања):
\( (x^2y)^3 = (x^2)^3 \cdot y^3 = x^{2 \cdot 3}y^3 = x^6y^3 \)
\( (x^2y)^3 = (x^2)^3 \cdot y^3 = x^{2 \cdot 3}y^3 = x^6y^3 \)
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај производ монома: \( -5x^2 \cdot 4x^3 \).
Множимо коефицијенте, а затим променљиве:
\( (-5 \cdot 4) \cdot (x^2 \cdot x^3) \)
\( = -20 \cdot x^{2+3} \)
\( = -20x^5 \)
\( (-5 \cdot 4) \cdot (x^2 \cdot x^3) \)
\( = -20 \cdot x^{2+3} \)
\( = -20x^5 \)
Средњи: Помножи дате мономе: \( -0,4y^2 \cdot 5y^2 \cdot (-2x) \).
Групишемо све коефицијенте заједно, а променљиве са истим основама заједно:
\( (-0,4 \cdot 5 \cdot (-2)) \cdot (y^2 \cdot y^2) \cdot x \)
\( = (-2 \cdot (-2)) \cdot y^{2+2} \cdot x \)
\( = 4xy^4 \) (обичај је да се променљиве пишу абецедним редом)
\( (-0,4 \cdot 5 \cdot (-2)) \cdot (y^2 \cdot y^2) \cdot x \)
\( = (-2 \cdot (-2)) \cdot y^{2+2} \cdot x \)
\( = 4xy^4 \) (обичај је да се променљиве пишу абецедним редом)
Тежак: Дат је правоугаоник чије су странице дужина \( 20x \) и \( 15x \). Унутар њега је изрезан мањи правоугаоник страница \( 12x \) и \( 10x \). Напиши моном који представља површину преосталог дела великог правоугаоника.
1. Површина великог правоугаоника је производ његових страница:
\( P_1 = 20x \cdot 15x = 300x^2 \)
2. Површина малог правоугаоника (изрезаног дела) је:
\( P_2 = 12x \cdot 10x = 120x^2 \)
3. Површина преосталог дела је разлика ове две површине:
\( P = P_1 - P_2 = 300x^2 - 120x^2 = 180x^2 \)
\( P_1 = 20x \cdot 15x = 300x^2 \)
2. Површина малог правоугаоника (изрезаног дела) је:
\( P_2 = 12x \cdot 10x = 120x^2 \)
3. Површина преосталог дела је разлика ове две површине:
\( P = P_1 - P_2 = 300x^2 - 120x^2 = 180x^2 \)
