Најважније из лекције
Формула за разлику квадрата гласи: \( A^2 - B^2 = (A + B)(A - B) \).
Овај идентитет је универзалан и применљив на бројеве, мономе и полиноме. Користи се за поједностављивање израза, претварање збира/разлике у производ (растављање на чиниоце) или за брже рачунање вредности нумеричких израза.
Пример растављања: \( 16a^2 - 9 = (4a)^2 - 3^2 = (4a - 3)(4a + 3) \).
Пример множења: \( (x - 5y)(x + 5y) = x^2 - (5y)^2 = x^2 - 25y^2 \).
Овај идентитет је универзалан и применљив на бројеве, мономе и полиноме. Користи се за поједностављивање израза, претварање збира/разлике у производ (растављање на чиниоце) или за брже рачунање вредности нумеричких израза.
Пример растављања: \( 16a^2 - 9 = (4a)^2 - 3^2 = (4a - 3)(4a + 3) \).
Пример множења: \( (x - 5y)(x + 5y) = x^2 - (5y)^2 = x^2 - 25y^2 \).
Разлика квадрата два израза (монома, полинома или бројева) једнака је производу њиховог збира и њихове разлике.
\[ A^2 - B^2 = (A + B)(A - B) \]
Ово правило важи јер се множењем бинома \( (A + B) \) и \( (A - B) \) средњи чланови поништавају:
\[ (A + B)(A - B) = A \cdot A - A \cdot B + B \cdot A - B \cdot B = A^2 - AB + AB - B^2 = A^2 - B^2 \]
Квадрат негативног израза даје позитиван резултат, па важи: \( (-M)^2 - N^2 = M^2 - N^2 = (M + N)(M - N) \).
Пример растављања на чиниоце:
\( 25x^2 - y^2 = (5x)^2 - y^2 = (5x + y)(5x - y) \)
\( 25x^2 - y^2 = (5x)^2 - y^2 = (5x + y)(5x - y) \)
Геометријски посматрано, разлика квадрата \( a^2 - b^2 \) (за \( a > b \)) представља површину која остане када се из великог квадрата странице \( a \) исече мањи квадрат странице \( b \).
Збир површина ових делова потврђује алгебарски идентитет \( a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \).
Формула за разлику квадрата се често користи у оба смера: за претварање производа у разлику (чиме се олакшава множење) и за претварање разлике у производ (растављање на чиниоце).
Олакшано рачунање: Множење бројева који су симетрично удаљени од неке десетице или стотине.
Пример: \( 102 \cdot 98 = (100 + 2)(100 - 2) = 100^2 - 2^2 = 10000 - 4 = 9996 \)
Пример: \( 102 \cdot 98 = (100 + 2)(100 - 2) = 100^2 - 2^2 = 10000 - 4 = 9996 \)
Представљање производа као разлике квадрата: Када множимо збир и разлику истих монома.
Пример: \( (2x + 7)(2x - 7) = (2x)^2 - 7^2 = 4x^2 - 49 \)
Пример: \( (2x + 7)(2x - 7) = (2x)^2 - 7^2 = 4x^2 - 49 \)
Задаци за вежбање
Лак: Представи следећи производ као разлику квадрата у сређеном облику:
\[ (3x^2 + y^3)(3x^2 - y^3) \]
Примењујемо формулу \( (A+B)(A-B) = A^2 - B^2 \):
\( (3x^2 + y^3)(3x^2 - y^3) = (3x^2)^2 - (y^3)^2 \)
\( = 9x^4 - y^6 \)
\( (3x^2 + y^3)(3x^2 - y^3) = (3x^2)^2 - (y^3)^2 \)
\( = 9x^4 - y^6 \)
Средњи: Растави на чиниоце следећи израз:
\[ \frac{1}{4}m^2 - 0,81n^2 \]
Прво записујемо сваки члан као квадрат монома:
\( \frac{1}{4}m^2 = \left(\frac{1}{2}m\right)^2 \)
\( 0,81n^2 = (0,9n)^2 \)
Сада примењујемо формулу за разлику квадрата:
\( \left(\frac{1}{2}m\right)^2 - (0,9n)^2 = \left(\frac{1}{2}m + 0,9n\right)\left(\frac{1}{2}m - 0,9n\right) \)
\( \frac{1}{4}m^2 = \left(\frac{1}{2}m\right)^2 \)
\( 0,81n^2 = (0,9n)^2 \)
Сада примењујемо формулу за разлику квадрата:
\( \left(\frac{1}{2}m\right)^2 - (0,9n)^2 = \left(\frac{1}{2}m + 0,9n\right)\left(\frac{1}{2}m - 0,9n\right) \)
Средњи: Применом формуле за разлику квадрата брзо израчунај:
\[ 93^2 - 83^2 \]
Уместо да квадрирамо сваки број појединачно, користимо формулу:
\( 93^2 - 83^2 = (93 + 83)(93 - 83) \)
\( = 176 \cdot 10 \)
\( = 1760 \)
\( 93^2 - 83^2 = (93 + 83)(93 - 83) \)
\( = 176 \cdot 10 \)
\( = 1760 \)
Тежак: Докажи да је разлика квадрата два узастопна непарна природна броја увек дељива са 8.
Нека су два узастопна непарна броја \( m \) и \( n \) (где је \( m > n \)). Сваки непаран број се може записати у облику \( 2k+1 \) и \( 2k-1 \), где је \( k \) природан број.
Тада имамо:
\( m^2 - n^2 = (2k + 1)^2 - (2k - 1)^2 \)
Примењујемо разлику квадрата:
\( = ((2k + 1) + (2k - 1)) \cdot ((2k + 1) - (2k - 1)) \)
\( = (2k + 1 + 2k - 1) \cdot (2k + 1 - 2k + 1) \)
\( = (4k) \cdot (2) = 8k \)
Пошто се резултат може записати као \( 8 \cdot k \), израз је очигледно дељив са 8.
Тада имамо:
\( m^2 - n^2 = (2k + 1)^2 - (2k - 1)^2 \)
Примењујемо разлику квадрата:
\( = ((2k + 1) + (2k - 1)) \cdot ((2k + 1) - (2k - 1)) \)
\( = (2k + 1 + 2k - 1) \cdot (2k + 1 - 2k + 1) \)
\( = (4k) \cdot (2) = 8k \)
Пошто се резултат може записати као \( 8 \cdot k \), израз је очигледно дељив са 8.
