III.5. Дељење Степена Једнаких Изложилаца

Читање задатка са скениране странице

На страници је задато (пази: између прве и друге заграде у изразу за \( A \) стоји знак дељења „\( : \)“, а не множење): \[ A = \left(\tfrac{1}{2}\right)^4 : \left(\tfrac{\sqrt{2}}{4}\right)^4, \qquad B = \left(\tfrac{\sqrt{2}}{4}\right)^3 : (-0{,}25)^3, \qquad C = \left(-2\sqrt{2}\right)^3 : (-2)^3. \] Треба израчунати: а) \( (A\cdot C)^4 : B^4 \); б) \( A^2 : (B^2 : C^2) \); в) \( \dfrac{A^4\cdot B^4}{C^4} \).

Помоћне једнакости за степене броја \( \sqrt{2} \)

\[ (\sqrt{2})^2 = 2, \quad (\sqrt{2})^3 = (\sqrt{2})^2\cdot\sqrt{2} = 2\sqrt{2}, \quad (\sqrt{2})^4 = \big((\sqrt{2})^2\big)^2 = 2^2 = 4. \]

Одређивање вредности \( A \)

Користимо правило за дељење степена једнаких изложилаца \( a^n : b^n = (a:b)^n \) (основа делиоца различита од нуле): \[ A = \left(\tfrac{1}{2}\right)^4 : \left(\tfrac{\sqrt{2}}{4}\right)^4 = \left(\tfrac{1}{2} : \tfrac{\sqrt{2}}{4}\right)^4 = \left(\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{4}{\sqrt{2}}\right)^4 = \left(\tfrac{2}{\sqrt{2}}\right)^4. \] Пошто је \( \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \), добијамо \[ A = (\sqrt{2})^4 = 4. \]

Одређивање вредности \( B \)

Најпре је \( -0{,}25 = -\tfrac{1}{4} \). Тада је \[ B = \left(\tfrac{\sqrt{2}}{4}\right)^3 : \left(-\tfrac{1}{4}\right)^3 = \left(\tfrac{\sqrt{2}}{4} : \left(-\tfrac{1}{4}\right)\right)^3 = \left(\tfrac{\sqrt{2}}{4}\cdot(-4)\right)^3 = (-\sqrt{2})^3. \] Одавде је \[ B = -(\sqrt{2})^3 = -2\sqrt{2}. \]

Одређивање вредности \( C \)

\[ C = \left(-2\sqrt{2}\right)^3 : (-2)^3 = \left(\tfrac{-2\sqrt{2}}{-2}\right)^3 = (\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2}. \]

Кључно запажање

Добили смо \[ A = 4, \qquad B = -2\sqrt{2}, \qquad C = 2\sqrt{2}, \] па важи \( C = -B \). Отуда следи \( C^2 = B^2 \) и \( C^4 = B^4 \). Ово ће знатно поједноставити рачун.

а) \( (A\cdot C)^4 : B^4 \)

Применом правила \( a^n : b^n = (a:b)^n \): \[ (A\cdot C)^4 : B^4 = \left(\tfrac{A\cdot C}{B}\right)^4. \] Пошто је \( C = -B \), количник у загради је \[ \tfrac{A\cdot C}{B} = \tfrac{A\cdot(-B)}{B} = -A = -4. \] Дакле, \[ (A\cdot C)^4 : B^4 = (-4)^4 = 256 = 2^8. \]

б) \( A^2 : (B^2 : C^2) \)

Прво изразимо унутрашњи количник. Како је \( C^2 = B^2 \), то је \[ B^2 : C^2 = \tfrac{B^2}{C^2} = 1. \] Затим \[ A^2 : (B^2 : C^2) = A^2 : 1 = A^2 = 4^2 = 16 = 2^4. \]

в) \( \dfrac{A^4\cdot B^4}{C^4} \)

Пошто је \( C^4 = B^4 \), чиниоци \( B^4 \) и \( C^4 \) се скраћују: \[ \tfrac{A^4\cdot B^4}{C^4} = A^4\cdot \tfrac{B^4}{C^4} = A^4\cdot 1 = A^4 = 4^4 = 256 = 2^8. \]

Коначни резултати

\[ \text{а) } 256 = 2^8, \qquad \text{б) } 16 = 2^4, \qquad \text{в) } 256 = 2^8. \]

Пошто је \( A=4,\ B=-2\sqrt{2},\ C=2\sqrt{2}=-B \): а) \( 256=2^8 \); б) \( 16=2^4 \); в) \( 256=2^8 \).