Најважније из лекције
- Тежиште (\( T \)): Пресечна тачка тежишних дужи. Дели тежишну дуж у размери \( 2 : 1 \) почевши од темена ка страници.
- Ортоцентар (\( H \)): Пресечна тачка правих које садрже висине. Зависно од троугла, налази се унутра (оштроугли), на темену правог угла (правоугли) или ван троугла (тупоугли).
- Ојлерова права: Права којој припадају ортоцентар \( H \), тежиште \( T \) и центар описане кружнице \( O \), при чему важи \( HT = 2 \cdot TO \).
- Значајне тачке: Код једнакокраког троугла леже на симетрали основице, а код једнакостраничног се све четири поклапају.
Тежишна дуж троугла је дуж чија је једна крајња тачка теме троугла, а друга средиште наспрамне странице. Сваки троугао има три тежишне дужи.
Тежиште троугла (\( T \)) је пресечна тачка све три тежишне дужи. Тежиште увек припада унутрашњој области троугла.
Тежиште дели сваку тежишну дуж у размери \( 2 : 1 \), посматрано од темена ка средишту наспрамне странице.
Ако су \( AA_1 \), \( BB_1 \) и \( CC_1 \) тежишне дужи троугла \( ABC \), тада важи:
\[ AT : TA_1 = 2 : 1, \quad BT : TB_1 = 2 : 1, \quad CT : TC_1 = 2 : 1 \]
Ово се може записати и као:
\[ AT = 2 \cdot TA_1, \quad BT = 2 \cdot TB_1, \quad CT = 2 \cdot TC_1 \]
Ортоцентар троугла (\( H \)) је пресечна тачка свих правих које садрже висине троугла.
Положај ортоцентра у односу на троугао зависи од врсте углова тог троугла:
| Врста троугла | Положај ортоцентра |
|---|---|
| Оштроугли троугао | Унутрашња област троугла |
| Правоугли троугао | Теме правог угла тог троугла |
| Тупоугли троугао | Спољашња област троугла |
У сваком троуглу постоје четири значајне тачке:
- Центар описане кружнице (\( O \)): пресек симетрала страница троугла;
- Центар уписане кружнице (\( S \)): пресек симетрала унутрашњих углова троугла;
- Тежиште (\( T \)): пресек тежишних дужи троугла;
- Ортоцентар (\( H \)): пресек правих које садрже висине троугла.
Код једнакокраког троугла све четири значајне тачке припадају симетрали основице (која је уједно и симетрала угла при врху). Код једнакостраничног троугла све четири значајне тачке се поклапају у једној тачки.
Ојлерова права: Центар описане кружнице \( O \), тежиште \( T \) и ортоцентар \( H \) произвољног троугла припадају једној правој.
На Ојлеровој правој важи однос:
\[ HT = 2 \cdot TO \]
Својства математичких објеката исказују се тврђењима. У геометрији се она често исказују у форми: ако је тачна претпоставка, онда је тачан закључак.
Доказ тврђења је расуђивање којим се од претпоставке, коришћењем познатих дефиниција и доказаних тврђења, долази до закључка.
Дефиниција представља увођење новог математичког објекта помоћу раније познатих објеката (нпр. "Четвороугао чије су наспрамне странице паралелне јесте паралелограм").
Задаци за вежбање
Лак: Дат је правоугли троугао \( ABC \) са правим углом код темена \( C \). Где се налази ортоцентар овог троугла?
Код правоуглог троугла, ортоцентар се увек поклапа са теменом правог угла тог троугла.
Одговор: Ортоцентар се налази у темену \( C \).
Одговор: Ортоцентар се налази у темену \( C \).
Средњи: Тежишна дуж \( AA_1 \) троугла \( ABC \) има дужину \( 18 \text{ cm} \). Ако је \( T \) тежиште тог троугла, одреди дужине дужи \( AT \) и \( TA_1 \).
Тежиште дели тежишну дуж у размери \( 2 : 1 \) почевши од темена, па важи \( AT = 2 \cdot TA_1 \).
Укупна дужина је \( AA_1 = AT + TA_1 = 3 \cdot TA_1 \).
\( 3 \cdot TA_1 = 18 \text{ cm} \Rightarrow TA_1 = 6 \text{ cm} \).
Дужина \( AT \) је дупло већа: \( AT = 2 \cdot 6 = 12 \text{ cm} \).
Одговор: \( AT = 12 \text{ cm} \) и \( TA_1 = 6 \text{ cm} \).
Укупна дужина је \( AA_1 = AT + TA_1 = 3 \cdot TA_1 \).
\( 3 \cdot TA_1 = 18 \text{ cm} \Rightarrow TA_1 = 6 \text{ cm} \).
Дужина \( AT \) је дупло већа: \( AT = 2 \cdot 6 = 12 \text{ cm} \).
Одговор: \( AT = 12 \text{ cm} \) и \( TA_1 = 6 \text{ cm} \).
Тежак: Код произвољног троугла растојање између ортоцентра \( H \) и центра описане кружнице \( O \) износи \( 15 \text{ cm} \). Израчунај растојање од тежишта \( T \) до центра описане кружнице \( O \).
Тачке \( H \), \( T \) и \( O \) припадају Ојлеровој правој. Тежиште \( T \) се налази између тачака \( H \) и \( O \), тако да важи \( HO = HT + TO \).
Према правилу Ојлерове праве важи: \( HT = 2 \cdot TO \).
Заменом овог односа у прву једначину добијамо: \( HO = 2 \cdot TO + TO = 3 \cdot TO \).
\( 3 \cdot TO = 15 \text{ cm} \Rightarrow TO = 5 \text{ cm} \).
Одговор: Растојање од тежишта до центра описане кружнице је \( 5 \text{ cm} \).
Према правилу Ојлерове праве важи: \( HT = 2 \cdot TO \).
Заменом овог односа у прву једначину добијамо: \( HO = 2 \cdot TO + TO = 3 \cdot TO \).
\( 3 \cdot TO = 15 \text{ cm} \Rightarrow TO = 5 \text{ cm} \).
Одговор: Растојање од тежишта до центра описане кружнице је \( 5 \text{ cm} \).
