Најважније из лекције
Кључне формуле за правилни многоугао са \( n \) темена:
• Унутрашњи угао: \( \alpha_n = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} \)
• Спољашњи угао: \( \beta_n = \frac{360^\circ}{n} \)
• Централни угао: \( \varphi_n = \frac{360^\circ}{n} \)
Сваки правилан многоугао има уписану и описану кружницу са истим центром. Правилан многоугао се може поделити на \( n \) карактеристичних једнакокраких троуглова чији су краци \( R \), основица \( a \) и висина \( r \). Код правилног шестоугла овај троугао је једнакостраничан, па је \( R = a \) и \( r = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).
• Унутрашњи угао: \( \alpha_n = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} \)
• Спољашњи угао: \( \beta_n = \frac{360^\circ}{n} \)
• Централни угао: \( \varphi_n = \frac{360^\circ}{n} \)
Сваки правилан многоугао има уписану и описану кружницу са истим центром. Правилан многоугао се може поделити на \( n \) карактеристичних једнакокраких троуглова чији су краци \( R \), основица \( a \) и висина \( r \). Код правилног шестоугла овај троугао је једнакостраничан, па је \( R = a \) и \( r = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).
Правилан многоугао јесте многоугао чије су све странице једнаке и сви углови једнаки.
Унутрашњи угао \( \alpha_n \) правилног многоугла са \( n \) темена:
\[ \alpha_n = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n} \]
Спољашњи угао \( \beta_n \) правилног многоугла са \( n \) темена:
\[ \beta_n = \frac{360^\circ}{n} \]
Ако се повећава број темена правилног многоугла, онда се повећава и мера унутрашњег угла тог многоугла. Сви спољашњи углови једног правилног многоугла су узајамно једнаки.
Сваки правилан многоугао је осно симетрична фигура. Осе симетрије су симетрале страница и симетрале унутрашњих углова тог многоугла. Број оса симетрије једнак је броју темена \( n \).
Око сваког правилног многоугла може се описати кружница и у сваки се може уписати кружница. Центри ових кружница се поклапају и та тачка се назива центар правилног многоугла.
- Полупречник описане кружнице (\( R \)): дуж чије су крајње тачке центар многоугла и било које његово теме.
- Полупречник уписане кружнице (\( r \)): дуж чије су крајње тачке центар многоугла и подножје нормале из центра на страницу многоугла.
Карактеристични троугао правилног многоугла јесте једнакокраки троугао чија су темена два суседна темена многоугла и центар многоугла. Правилан многоугао са \( n \) темена састоји се од \( n \) таквих подударних троуглова.
За карактеристични троугао важи:
- основица је једнака страници многоугла (\( a \));
- крак је једнак полупречнику описане кружнице (\( R \));
- висина која одговара основици једнака је полупречнику уписане кружнице (\( r \));
- углови налегли на основицу једнаки су половини унутрашњег угла (\( \frac{\alpha_n}{2} \));
- угао при врху назива се централни угао (\( \varphi_n \)) и рачуна се као \( \varphi_n = \frac{360^\circ}{n} \).
Карактеристични троугао правилног шестоугла (\( n = 6 \)) је једнакостранични троугао чија је страница једнака страници тог шестоугла.
За правилан шестоугао важи:
\[ R = a, \quad r = \frac{a\sqrt{3}}{2} \]
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај меру унутрашњег и спољашњег угла правилног осмоугла (\( n = 8 \)).
Спољашњи угао: \( \beta_8 = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ \).
Унутрашњи угао се може израчунати преко формуле или као суплементан спољашњем: \( \alpha_8 = 180^\circ - \beta_8 = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \).
Унутрашњи угао се може израчунати преко формуле или као суплементан спољашњем: \( \alpha_8 = 180^\circ - \beta_8 = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \).
Средњи: Колико темена (страница) има правилан многоугао чији је унутрашњи угао \( 144^\circ \)?
Ако је унутрашњи угао \( 144^\circ \), онда је његов одговарајући спољашњи угао \( \beta_n = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ \).
Како важи формула \( \beta_n = \frac{360^\circ}{n} \), имамо: \[ 36^\circ = \frac{360^\circ}{n} \implies n = \frac{360^\circ}{36^\circ} = 10 \] Одговор: У питању је правилни десетоугао (има 10 темена).
Како важи формула \( \beta_n = \frac{360^\circ}{n} \), имамо: \[ 36^\circ = \frac{360^\circ}{n} \implies n = \frac{360^\circ}{36^\circ} = 10 \] Одговор: У питању је правилни десетоугао (има 10 темена).
Тежак: Дужина странице правилног шестоугла је \( 4\text{ cm} \). Израчунај дужину полупречника описане (\( R \)) и уписане (\( r \)) кружнице тог шестоугла.
Карактеристични троугао правилног шестоугла је једнакостраничан, па важе формуле:
\( R = a \)
\( r = \frac{a\sqrt{3}}{2} \)
Заменом \( a = 4\text{ cm} \) добијамо:
\( R = 4\text{ cm} \)
\( r = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\text{ cm} \).
\( R = a \)
\( r = \frac{a\sqrt{3}}{2} \)
Заменом \( a = 4\text{ cm} \) добијамо:
\( R = 4\text{ cm} \)
\( r = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\text{ cm} \).
