Најважније из лекције
Дијагонале и углови: Из једног темена излази \( d_n = n - 3 \) дијагонала и оне деле многоугао на \( n - 2 \) троуглова. Укупан број дијагонала је \( D_n = \frac{n(n-3)}{2} \). Збир унутрашњих углова је \( S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ \), док је збир спољашњих углова увек \( 360^\circ \).
Правилни многоуглови: Све странице и углови су једнаки. Централни и спољашњи углови су \( \varphi_n = \beta_n = \frac{360^\circ}{n} \), а унутрашњи угао је \( \alpha_n = \frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n} \). Површина је \( P = \frac{r \cdot O}{2} \).
Правилни шестоугао: Карактеристични троугао је једнакостраничан (\( R = a \), \( r = \frac{a\sqrt{3}}{2} \)), дужа дијагонала је \( 2a \), краћа \( a\sqrt{3} \), а површина \( P = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \).
Значајне тачке троугла: Тежиште \( T \) дели тежишну дуж у односу \( 2:1 \); ортоцентар \( H \) је пресек висина; центар описане кружнице \( O \) је пресек симетрала страница; центар уписане кружнице \( S \) је пресек симетрала углова.
Правилни многоуглови: Све странице и углови су једнаки. Централни и спољашњи углови су \( \varphi_n = \beta_n = \frac{360^\circ}{n} \), а унутрашњи угао је \( \alpha_n = \frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n} \). Површина је \( P = \frac{r \cdot O}{2} \).
Правилни шестоугао: Карактеристични троугао је једнакостраничан (\( R = a \), \( r = \frac{a\sqrt{3}}{2} \)), дужа дијагонала је \( 2a \), краћа \( a\sqrt{3} \), а површина \( P = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \).
Значајне тачке троугла: Тежиште \( T \) дели тежишну дуж у односу \( 2:1 \); ортоцентар \( H \) је пресек висина; центар описане кружнице \( O \) је пресек симетрала страница; центар уписане кружнице \( S \) је пресек симетрала углова.
Многоугаона линија је затворена изломљена линија без самопресека коју чине три или више дужи у једној равни. Крајње тачке тих дужи су темена многоугаоне линије.
Многоугао је геометријска фигура коју чине многоугаона линија и њена унутрашња област.
Основни елементи многоугла су темена, странице и унутрашњи углови.
Суседни елементи: Суседна темена припадају истој страници, суседне странице имају заједничко теме, а суседни унутрашњи углови имају суседна темена.
Конвексност: Многоугао је конвексан ако дуж која спаја било које две његове тачке у потпуности припада том многоуглу. У супротном је неконвексан.
Да ли четвороугао може имати три оштра унутрашња угла и бити конвексан?
Збир углова у четвороуглу је \( 360^\circ \). Ако би три угла била оштра (сваки мањи од \( 90^\circ \)), њихов збир би био мањи од \( 270^\circ \), што значи да би четврти угао морао бити већи од \( 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ \), а може бити и већи од \( 180^\circ \). Ако је четврти угао већи од \( 180^\circ \), четвороугао је неконвексан; међутим, може бити нпр. \( 80^\circ, 80^\circ, 80^\circ \) и \( 120^\circ \) (збир \( 360^\circ \)), где су сви углови мањи од \( 180^\circ \), па четвороугао јесте конвексан. Дакле, може.
Дијагонала многоугла је дуж чије су крајње тачке два несуседна темена многоугла.
\[ d_n = n - 3 \]
Број дијагонала повучених из једног темена многоугла са \( n \) темена (\( n \ge 3 \)).
\[ D_n = \frac{n(n - 3)}{2} \]
Укупан број дијагонала конвексног многоугла са \( n \) темена.
Дијагонале повучене из једног темена деле конвексан многоугао са \( n \) темена на \( n - 2 \) троуглова.
За петоугао (\( n = 5 \)):
Број дијагонала из једног темена: \( d_5 = 5 - 3 = 2 \).
Укупан број дијагонала: \( D_5 = \frac{5 \cdot (5 - 3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5 \).
Број троуглова на које је подељен: \( 5 - 2 = 3 \).
Број дијагонала из једног темена: \( d_5 = 5 - 3 = 2 \).
Укупан број дијагонала: \( D_5 = \frac{5 \cdot (5 - 3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5 \).
Број троуглова на које је подељен: \( 5 - 2 = 3 \).
Који многоугао има укупно 54 дијагонале?
Полазимо од формуле:
\[ \frac{n(n - 3)}{2} = 54 \implies n(n - 3) = 108 \]
Тражимо два природна броја чија је разлика 3, а производ 108.
Растављањем на чиниоце: \( 108 = 12 \cdot 9 \).
Следи да је \( n = 12 \). Тражени многоугао је дванаестоугао.
\[ S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ \]
Збир свих унутрашњих углова конвексног многоугла са \( n \) темена.
Спољашњи угао многоугла је угао упоредан са одговарајућим унутрашњим углом. Важи \( \alpha + \alpha_1 = 180^\circ \).
Збир свих спољашњих углова било ког конвексног многоугла износи:
\[ S_n' = 360^\circ \]
Збир спољашњих углова не зависи од броја страница многоугла.
Колики је збир унутрашњих углова седмоугла (\( n = 7 \))?
Применом формуле:
\[ S_7 = (7 - 2) \cdot 180^\circ = 5 \cdot 180^\circ = 900^\circ \]
Значајне тачке троугла:
- Тежиште (\( T \)): Пресек тежишних дужи (дужи које спајају темена са средиштима наспрамних страница). Тежиште дели сваку тежишну дуж у односу \( 2 : 1 \) мерено од темена (\( AT = 2 \cdot TA_1 \)).
- Ортоцентар (\( H \)): Пресек правих које садрже висине троугла. Код оштроуглог троугла је унутар, код правоуглог у темену правог угла, а код тупоуглог ван троугла.
- Центар описане кружнице (\( O \)): Пресек симетрала страница троугла. Код правоуглог троугла налази се на средишту хипотенузе.
- Центар уписане кружнице (\( S \)): Пресек симетрала унутрашњих углова троугла.
Ојлерова права: Тачке \( H \), \( T \) и \( O \) сваког троугла припадају истој правој, при чему важи \( HT = 2 \cdot TO \). Код једнакостраничног троугла све четири значајне тачке се поклапају.
Кружнице код четвороуглова:
- Око сваког правоугаоника се може описати кружница чији је центар пресек дијагонала, а полупречник \( R = \frac{d}{2} \).
- У сваки ромб се може уписати кружница чији је центар пресек дијагонала, а полупречник је половина висине (\( r = \frac{h}{2} \)).
- У сваки и око сваког квадрата може се уписати и описати кружница.
Правилан многоугао је многоугао коме су све странице једнаке и сви унутрашњи углови једнаки.
\[ \alpha_n = \frac{S_n}{n} = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n} \]
Унутрашњи угао правилног многоугла са \( n \) страница.
\[ \beta_n = \frac{360^\circ}{n} \quad \text{и} \quad \varphi_n = \frac{360^\circ}{n} \]
Спољашњи угао (\( \beta_n \)) и централни угао (\( \varphi_n \)).
Карактеристични троугао правилног многоугла је једнакокраки троугао чија су темена два суседна темена многоугла и центар многоугла \( O \):
- Основица је страница многоугла \( a \);
- Краци су полупречници описане кружнице \( R \);
- Висина на основицу је полупречник уписане кружнице \( r \);
- Угао при врху је централни угао \( \varphi_n = \frac{360^\circ}{n} \);
- Углови на основици износе \( \frac{\alpha_n}{2} \).
Правилни шестоугао: Састоји се од 6 подударних једнакостраничних троуглова.
\[ R = a, \quad r = \frac{a\sqrt{3}}{2}, \quad d_1 = 2a \text{ (дужа дијагонала)}, \quad d_2 = a\sqrt{3} \text{ (краћа дијагонала)} \]
\[ O = n \cdot a \]
Обим правилног многоугла са \( n \) страница дужине \( a \).
\[ P = \frac{r \cdot O}{2} = n \cdot \frac{a \cdot r}{2} \]
Површина многоугла у који је уписана кружница полупречника \( r \).
Специјалне формуле за површине правилних многоуглова:
| Правилан многоугао | Полупречник уписане кружнице (\( r \)) | Површина (\( P \)) |
|---|---|---|
| Једнакостранични троугао (\( n = 3 \)) | \( \frac{a\sqrt{3}}{6} \) | \( \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \) |
| Квадрат (\( n = 4 \)) | \( \frac{a}{2} \) | \( a^2 \) |
| Правилни шестоугао (\( n = 6 \)) | \( \frac{a\sqrt{3}}{2} \) | \( \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \) |
За правилни шестоугао странице \( a = 4\text{ cm} \):
\[ O = 6 \cdot 4\text{ cm} = 24\text{ cm} \]
\[ P = \frac{3 \cdot 4^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 16\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}\text{ cm}^2 \]
Скицира се тражена фигура, уочавају познати елементи и идентификује карактеристични троугао који се може конструисати помоћу ставова подударности (ССС, СУС, УСУ или ССУ).
Конструише се карактеристични троугао помоћу датих елемената:
- Ако су дати \( a \) и \( \alpha_n \): користи се УСУ (страница \( a \) и углови \( \frac{\alpha_n}{2} \)).
- Ако су дати \( R \) и \( \varphi_n \): користи се СУС (краци \( R \) и угао \( \varphi_n \)).
- Ако су дати \( r \) и \( \varphi_n \): конструише се правоугли троугао са катетом \( r \) и углом \( \frac{\varphi_n}{2} \).
Није сваки правилни многоугао могуће конструисати само помоћу лењира и шестара (нпр. правилан деветоугао се не може конструисати јер се угао од \( 40^\circ \) не може конструисати).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунај збир унутрашњих углова и број дијагонала из једног темена конвексног осмоугла (\( n = 8 \)).
Збир унутрашњих углова:
\[ S_8 = (8 - 2) \cdot 180^\circ = 6 \cdot 180^\circ = 1080^\circ \]
Број дијагонала из једног темена:
\[ d_8 = 8 - 3 = 5 \]
Одговор: Збир углова је \( 1080^\circ \), а број дијагонала из једног темена је 5.
Задатак 2 (средњи): Централни угао правилног многоугла износи \( 30^\circ \). Одреди број страница тог многоугла, као и меру његовог унутрашњег угла.
Централни угао је \( \varphi_n = \frac{360^\circ}{n} \):
\[ 30^\circ = \frac{360^\circ}{n} \implies n = \frac{360^\circ}{30^\circ} = 12 \]
Многоугао има 12 страница (дванаестоугао).
Унутрашњи угао:
\[ \alpha_{12} = \frac{(12 - 2) \cdot 180^\circ}{12} = \frac{10 \cdot 180^\circ}{12} = 150^\circ \]
(Или преко спољашњег угла: \( \alpha_{12} = 180^\circ - \beta_{12} = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \)).
Одговор: Многоугао има 12 страница, а унутрашњи угао износи \( 150^\circ \).
Задатак 3 (средњи): У троуглу \( ABC \), дужина тежишне дужи \( AA_1 \) је \( 15\text{ cm} \). Колика су растојања тежишта \( T \) од темена \( A \) и од средишта странице \( A_1 \)?
Тежиште дели тежишну дуж у размери \( AT : TA_1 = 2 : 1 \).
Укупан број делова је \( 2 + 1 = 3 \).
\[ TA_1 = \frac{1}{3} \cdot 15\text{ cm} = 5\text{ cm} \]
\[ AT = \frac{2}{3} \cdot 15\text{ cm} = 10\text{ cm} \]
Одговор: Растојање од темена је \( 10\text{ cm} \), а од средишта странице \( 5\text{ cm} \).
Задатак 4 (тежак): Полупречник описане кружнице правилног шестоугла је \( R = 6\text{ cm} \). Израчунај дужину краће дијагонале \( d_2 \), полупречник уписане кружнице \( r \) и површину тог шестоугла.
Код правилног шестоугла је \( a = R = 6\text{ cm} \).
1. Полупречник уписане кружнице: \[ r = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\text{ cm} \] 2. Дужина краће дијагонале: \[ d_2 = a\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\text{ cm} \] 3. Површина шестоугла: \[ P = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 6^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 36\sqrt{3}}{2} = 54\sqrt{3}\text{ cm}^2 \] Одговор: \( d_2 = 6\sqrt{3}\text{ cm} \), \( r = 3\sqrt{3}\text{ cm} \), \( P = 54\sqrt{3}\text{ cm}^2 \).
1. Полупречник уписане кружнице: \[ r = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\text{ cm} \] 2. Дужина краће дијагонале: \[ d_2 = a\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\text{ cm} \] 3. Површина шестоугла: \[ P = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 6^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 36\sqrt{3}}{2} = 54\sqrt{3}\text{ cm}^2 \] Одговор: \( d_2 = 6\sqrt{3}\text{ cm} \), \( r = 3\sqrt{3}\text{ cm} \), \( P = 54\sqrt{3}\text{ cm}^2 \).
