Најважније из лекције
- Обим било ког многоугла је збир дужина свих његових страница. За правилне многоуглове: \( O = n \cdot a \).
- Површина многоугла са уписаном кружницом може се израчунати преко обима \( O \) и полупречника уписане кружнице \( r \): \( P = \frac{r \cdot O}{2} \).
- Површина правилног шестоугла са страницом \( a \) (код кога важи и \( a = R \)) рачуна се по формули: \( P = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \).
Обим многоугла јесте збир дужина свих страница тог многоугла.
За правилан многоугао који има \( n \) једнаких страница дужине \( a \), обим се рачуна по формули:
\[ O = n \cdot a \]
Ако су странице неправлиног петоугла \( 3 \text{ cm} \), \( 4 \text{ cm} \), \( 13 \text{ cm} \), \( 9 \text{ cm} \) и \( 15 \text{ cm} \), његов обим је збир свих страница:
\( O = 3 + 4 + 13 + 9 + 15 = 44 \text{ cm} \).
Полупречник описане кружнице правилног шестоугла је \( R = 2 \text{ cm} \). Израчунај обим тог шестоугла.
Код правилног шестоугла, дужина странице једнака је полупречнику описане кружнице, односно \( a = R = 2 \text{ cm} \).
Обим правилног шестоугла је: \( O = 6 \cdot a = 6 \cdot 2 \text{ cm} = 12 \text{ cm} \).
Обим правилног шестоугла је: \( O = 6 \cdot a = 6 \cdot 2 \text{ cm} = 12 \text{ cm} \).
Површина неке фигуре која се састоји од делова који се не преклапају једнака је збиру површина тих делова. Ако у многоугао можемо уписати кружницу, можемо га поделити на мање троуглове чија је висина управо полупречник уписане кружнице.
Површина многоугла чији је обим \( O \) и у који се може уписати кружница полупречника дужине \( r \) рачуна се као:
\[ P = \frac{r \cdot O}{2} \]
Страница ромба је \( a = 5 \text{ cm} \), а полупречник уписане кружнице је \( r = 1,5 \text{ cm} \). Израчунај површину тог ромба.
Прво рачунамо обим ромба (који је правилан четвороугао по питању страница):
\( O = 4 \cdot a = 4 \cdot 5 \text{ cm} = 20 \text{ cm} \).
Затим рачунамо површину:
\( P = \frac{r \cdot O}{2} = \frac{1,5 \text{ cm} \cdot 20 \text{ cm}}{2} = 15 \text{ cm}^2 \).
\( O = 4 \cdot a = 4 \cdot 5 \text{ cm} = 20 \text{ cm} \).
Затим рачунамо површину:
\( P = \frac{r \cdot O}{2} = \frac{1,5 \text{ cm} \cdot 20 \text{ cm}}{2} = 15 \text{ cm}^2 \).
Сваки правилан многоугао са \( n \) темена може се разложити на \( n \) једнаких карактеристичних троуглова. Површина правилног многоугла једнака је збиру површина тих троуглова.
Површина правилног многоугла који има \( n \) страница дужине \( a \) и полупречник уписане кружнице \( r \) јесте:
\[ P = n \cdot \frac{a \cdot r}{2} \]
У табели су приказане формуле за полупречник уписане кружнице и површину за три најпознатија правилна многоугла:
| Многоугао | Једнакостранични троугао (\( n=3 \)) | Квадрат (\( n=4 \)) | Правилни шестоугао (\( n=6 \)) |
|---|---|---|---|
| Полупречник уписане кружнице (\( r \)) | \( \frac{a\sqrt{3}}{6} \) | \( \frac{a}{2} \) | \( \frac{a\sqrt{3}}{2} \) |
| Површина (\( P \)) | \( \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \) | \( a^2 \) | \( \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \) |
Израчунај површину правилног шестоугла ако је полупречник описане кружнице \( R = 4 \text{ cm} \).
Код правилног шестоугла страница је једнака полупречнику описане кружнице: \( a = R = 4 \text{ cm} \).
Користећи формулу из табеле:
\( P = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot (4 \text{ cm})^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 16 \cdot \sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3} \text{ cm}^2 \).
Користећи формулу из табеле:
\( P = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot (4 \text{ cm})^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 16 \cdot \sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3} \text{ cm}^2 \).
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај обим правилног осмоугла ако је дужина једне његове странице \( a = 7 \text{ cm} \).
Правилни осмоугао има \( n = 8 \) једнаких страница.
\( O = n \cdot a = 8 \cdot 7 \text{ cm} = 56 \text{ cm} \).
\( O = n \cdot a = 8 \cdot 7 \text{ cm} = 56 \text{ cm} \).
Средњи: Странице троугла су \( a = 6 \text{ cm}, b = 8 \text{ cm} \) и \( c = 10 \text{ cm} \). Ако је полупречник уписане кружнице у тај троугао \( r = 2 \text{ cm} \), израчунај површину троугла.
Прво рачунамо обим троугла:
\( O = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24 \text{ cm} \).
Затим примењујемо формулу за површину преко полупречника уписане кружнице:
\( P = \frac{r \cdot O}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 24 \text{ cm}}{2} = 24 \text{ cm}^2 \).
\( O = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24 \text{ cm} \).
Затим примењујемо формулу за површину преко полупречника уписане кружнице:
\( P = \frac{r \cdot O}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 24 \text{ cm}}{2} = 24 \text{ cm}^2 \).
Тежак: Површина квадрата је \( 144 \text{ cm}^2 \). Одреди обим тог квадрата и полупречник његове уписане кружнице.
Из површине квадрата добијамо дужину странице:
\( P = a^2 \implies a^2 = 144 \implies a = 12 \text{ cm} \).
Обим квадрата је:
\( O = 4 \cdot a = 4 \cdot 12 \text{ cm} = 48 \text{ cm} \).
Полупречник уписане кружнице квадрата је половина странице:
\( r = \frac{a}{2} = \frac{12 \text{ cm}}{2} = 6 \text{ cm} \).
\( P = a^2 \implies a^2 = 144 \implies a = 12 \text{ cm} \).
Обим квадрата је:
\( O = 4 \cdot a = 4 \cdot 12 \text{ cm} = 48 \text{ cm} \).
Полупречник уписане кружнице квадрата је половина странице:
\( r = \frac{a}{2} = \frac{12 \text{ cm}}{2} = 6 \text{ cm} \).
