V.4. Дужина Кружног Лука

Постављање основне формуле

За решавање овог задатка користићемо формулу за дужину кружног лука. Да бисмо пронашли непознате вредности у табели, у зависности од тога шта се тражи, трансформисаћемо ову формулу: \[ l = \frac{r\pi\alpha}{180^\circ} \]

Колона 1: Израчунавање дужине лука (\( l \))

Познате су нам вредности за полупречник \( r = 5 \text{ cm} \) и централни угао \( \alpha = 30^\circ \). Замењујемо ове вредности у формулу: \[ l = \frac{5\pi \cdot 30^\circ}{180^\circ} \] Скраћујемо разломак са \( 30^\circ \): \[ l = \frac{5\pi \cdot \cancel{30^\circ}^1}{\cancel{180^\circ}_6} = \frac{5\pi}{6} \text{ cm} \]

Колона 2: Израчунавање централног угла (\( \alpha \))

За другу колону знамо \( r = 4 \text{ cm} \) и \( l = 2\pi \text{ cm} \). Замењујемо те вредности у формулу: \[ 2\pi = \frac{4\pi \cdot \alpha}{180^\circ} \] Изражавамо угао \( \alpha \) и скраћујемо разломак: \[ \alpha = \frac{180^\circ \cdot 2\pi}{4\pi} \] \[ \alpha = \frac{\cancel{180^\circ}^{45^\circ} \cdot \cancel{2}^1\cancel{\pi}}{\cancel{4}_1\cancel{\pi}} = 90^\circ \]

Колона 3: Израчунавање полупречника (\( r \))

У трећој колони имамо \( \alpha = 15^\circ \) и \( l = \frac{\pi}{2} \text{ cm} \). Замењујемо познато у формулу: \[ \frac{\pi}{2} = \frac{r\pi \cdot 15^\circ}{180^\circ} \] Скраћујемо десну страну са \( 15^\circ \): \[ \frac{\pi}{2} = \frac{r\pi \cdot \cancel{15^\circ}^1}{\cancel{180^\circ}_{12}} \] \[ \frac{\pi}{2} = \frac{r\pi}{12} \] Изражавамо \( r \) и рачунамо вредност: \[ r = \frac{12 \cdot \pi}{2 \cdot \pi} = \frac{\cancel{12}^6\cancel{\pi}}{\cancel{2}_1\cancel{\pi}} = 6 \text{ cm} \]

Колона 4: Израчунавање дужине лука (\( l \))

Познато нам је \( r = 12 \text{ cm} \) и \( \alpha = 150^\circ \). Замењујемо: \[ l = \frac{12\pi \cdot 150^\circ}{180^\circ} \] Скраћујемо разломак са \( 30^\circ \), а затим са \( 6 \): \[ l = \frac{12\pi \cdot \cancel{150^\circ}^5}{\cancel{180^\circ}_6} \] \[ l = \frac{\cancel{12}^2\pi \cdot 5}{\cancel{6}_1} = 10\pi \text{ cm} \]

Колона 5: Израчунавање централног угла (\( \alpha \))

Знамо да је \( r = 9 \text{ cm} \) и \( l = 12\pi \text{ cm} \). Замењујемо: \[ 12\pi = \frac{9\pi \cdot \alpha}{180^\circ} \] Изражавамо \( \alpha \) и скраћујемо разломак: \[ \alpha = \frac{12\pi \cdot 180^\circ}{9\pi} \] \[ \alpha = \frac{\cancel{12}^4\cancel{\pi} \cdot 180^\circ}{\cancel{9}_3\cancel{\pi}} \] \[ \alpha = \frac{4 \cdot \cancel{180^\circ}^{60^\circ}}{\cancel{3}_1} = 240^\circ \]

Колона 6: Израчунавање полупречника (\( r \))

За последњу колону имамо \( \alpha = 300^\circ \) и \( l = 5\pi \text{ cm} \). Замењујемо у формулу: \[ 5\pi = \frac{r\pi \cdot 300^\circ}{180^\circ} \] Скраћујемо десну страну са \( 60^\circ \): \[ 5\pi = \frac{r\pi \cdot \cancel{300^\circ}^5}{\cancel{180^\circ}_3} \] \[ 5\pi = \frac{5r\pi}{3} \] Изражавамо \( r \): \[ 15\pi = 5r\pi \Rightarrow r = \frac{15\pi}{5\pi} = 3 \text{ cm} \]

\( l_1 = \frac{5\pi \cdot 30^\circ}{180^\circ} = \frac{5\pi}{6} \text{ cm} \) \( \alpha_2 = \frac{180^\circ \cdot 2\pi}{4\pi} = 90^\circ \) \( r_3 = \frac{180^\circ \cdot \frac{\pi}{2}}{15^\circ \cdot \pi} = \frac{90^\circ\pi}{15^\circ\pi} = 6 \text{ cm} \) \( l_4 = \frac{12\pi \cdot 150^\circ}{180^\circ} = 10\pi \text{ cm} \) \( \alpha_5 = \frac{180^\circ \cdot 12\pi}{9\pi} = 240^\circ \) \( r_6 = \frac{180^\circ \cdot 5\pi}{300^\circ \cdot \pi} = 3 \text{ cm} \)