V.4. Дужина Кружног Лука

Дужина кружног лука рачуна се по формули: \[ l = \frac{r\pi}{180^\circ} \cdot \alpha \] Из ове формуле можемо изразити и полупречник \( r \) и централни угао \( \alpha \): \[ r = \frac{180^\circ \cdot l}{\pi\alpha} \] \[ \alpha = \frac{180^\circ \cdot l}{r\pi} \] Израчунавамо непознате вредности за сваку колону из табеле.

Прва колона

Познато је: \( r = 5\text{ cm} \), \( \alpha = 30^\circ \). Рачунамо непознату дужину кружног лука \( l \): \[ l = \frac{5\text{ cm} \cdot \pi}{180^\circ} \cdot 30^\circ \] Скратимо \( 30^\circ \) и \( 180^\circ \) са \( 30^\circ \): \[ l = \frac{5\text{ cm} \cdot \pi}{\cancel{180^\circ}_6} \cdot \cancel{30^\circ}^1 = \frac{5\pi}{6}\text{ cm} \] Дакле, знак ◎ замењује број \( \frac{5\pi}{6} \).

Друга колона

Познато је: \( r = 4\text{ cm} \), \( l = 2\pi\text{ cm} \). Рачунамо непознати централни угао \( \alpha \): \[ \alpha = \frac{180^\circ \cdot l}{r\pi} \] \[ \alpha = \frac{180^\circ \cdot 2\cancel{\pi}\text{ cm}}{4\cancel{\pi}\text{ cm}} = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ \] Дакле, знак ◎ замењује број \( 90 \).

Трећа колона

Познато је: \( \alpha = 15^\circ \), \( l = \frac{\pi}{2}\text{ cm} \). Рачунамо непознати полупречник \( r \): \[ r = \frac{180^\circ \cdot l}{\pi\alpha} \] \[ r = \frac{\cancel{180^\circ}^{12} \cdot \frac{\cancel{\pi}}{2}\text{ cm}}{\cancel{\pi} \cdot \cancel{15^\circ}_1} = \frac{12}{2}\text{ cm} = 6\text{ cm} \] Дакле, знак ◎ замењује број \( 6 \).

Четврта колона

Познато је: \( r = 12\text{ cm} \), \( \alpha = 150^\circ \). Рачунамо непознату дужину кружног лука \( l \): \[ l = \frac{12\text{ cm} \cdot \pi}{180^\circ} \cdot 150^\circ \] Скратимо \( 150^\circ \) и \( 180^\circ \) са \( 30^\circ \): \[ l = \frac{12\text{ cm} \cdot \pi}{\cancel{180^\circ}_6} \cdot \cancel{150^\circ}^5 = \frac{\cancel{12}^2\text{ cm} \cdot \pi}{\cancel{6}_1} \cdot 5 = 10\pi\text{ cm} \] Дакле, знак ◎ замењује број \( 10\pi \).

Пета колона

Познато је: \( r = 9\text{ cm} \), \( l = 12\pi\text{ cm} \). Рачунамо непознати централни угао \( \alpha \): \[ \alpha = \frac{180^\circ \cdot 12\cancel{\pi}\text{ cm}}{9\cancel{\pi}\text{ cm}} \] Скратимо \( 180^\circ \) и \( 9 \): \[ \alpha = \frac{\cancel{180^\circ}^{20} \cdot 12}{\cancel{9}_1} = 20^\circ \cdot 12 = 240^\circ \] Дакле, знак ◎ замењује број \( 240 \).

Шеста колона

Познато је: \( \alpha = 300^\circ \), \( l = 5\pi\text{ cm} \). Рачунамо непознати полупречник \( r \): \[ r = \frac{180^\circ \cdot 5\cancel{\pi}\text{ cm}}{\cancel{\pi} \cdot 300^\circ} \] Скратимо бројеве \( 180^\circ \) и \( 300^\circ \) са \( 60^\circ \): \[ r = \frac{\cancel{180^\circ}^3 \cdot 5}{\cancel{300^\circ}_5}\text{ cm} = \frac{3 \cdot \cancel{5}^1}{\cancel{5}_1}\text{ cm} = 3\text{ cm} \] Дакле, знак ◎ замењује број \( 3 \).

\( l_1 = \frac{5\pi \cdot 30^\circ}{180^\circ} = \frac{5\pi}{6}\text{ cm} \) \( \alpha_2 = \frac{180^\circ \cdot 2\pi}{4\pi} = 90^\circ \) \( r_3 = \frac{180^\circ \cdot \frac{\pi}{2}}{15^\circ \cdot \pi} = 6\text{ cm} \) \( l_4 = \frac{12\pi \cdot 150^\circ}{180^\circ} = 10\pi\text{ cm} \) \( \alpha_5 = \frac{180^\circ \cdot 12\pi}{9\pi} = 240^\circ \) \( r_6 = \frac{180^\circ \cdot 5\pi}{300^\circ \cdot \pi} = 3\text{ cm} \)