Најважније из лекције
- Површина кружног исечка преко угла: \( P_i = \frac{r^2\pi}{360^\circ} \cdot \alpha \)
- Површина кружног исечка преко лука: \( P_i = \frac{lr}{2} \)
- Обим кружног исечка: Збир дужине кружног лука и две дужине полупречника, \( O_i = 2r + l \).
Кружни исечак је део круга који је ограничен са два полупречника и њима одговарајућим кружним луком. Сваком кружном исечку одговара тачно један централни угао тог круга.
Полупречник кружног исечка једнак је полупречнику одговарајућег круга.
Површина кружног исечка коме одговара угао од \( 1^\circ \) представља триста шездесети део укупне површине круга \( (P = r^2\pi) \). Множењем те вредности са мером централног угла добија се површина било ког исечка.
\[ P_i = \frac{r^2\pi}{360^\circ} \cdot \alpha \]
\( P_i \) - површина исечка, \( r \) - полупречник, \( \alpha \) - централни угао
Ако је централни угао \( \alpha = 90^\circ \), површина исечка је четвртина површине круга: \( P_i = \frac{1}{4}P \).
Ако је \( \alpha = 180^\circ \), исечак је половина круга: \( P_i = \frac{1}{2}P \).
Ако је \( \alpha = 180^\circ \), исечак је половина круга: \( P_i = \frac{1}{2}P \).
Израчунај површину кружног исечка ако је полупречник \( r = 6 \text{ cm} \), а централни угао \( \alpha = 60^\circ \).
Користимо формулу: \( P_i = \frac{r^2\pi}{360^\circ} \cdot \alpha \)
\( P_i = \frac{6^2 \cdot \pi}{360^\circ} \cdot 60^\circ \)
\( P_i = \frac{36\pi}{360} \cdot 60 = \frac{\pi}{10} \cdot 60 = 6\pi \text{ cm}^2 \)
\( P_i = \frac{6^2 \cdot \pi}{360^\circ} \cdot 60^\circ \)
\( P_i = \frac{36\pi}{360} \cdot 60 = \frac{\pi}{10} \cdot 60 = 6\pi \text{ cm}^2 \)
Када је позната дужина кружног лука \( l \), површина исечка се може израчунати на једноставнији начин, без коришћења угла.
\[ P_i = \frac{l \cdot r}{2} \]
\( P_i \) - површина исечка, \( l \) - дужина кружног лука, \( r \) - полупречник
Подсетник: Дужина кружног лука се рачуна по формули \( l = \frac{r\pi}{180^\circ} \cdot \alpha \).
Израчунај површину кружног исечка полупречника \( r = 2,4 \text{ dm} \) коме одговара кружни лук дужине \( l = 20\pi \text{ dm} \).
Користимо формулу: \( P_i = \frac{l \cdot r}{2} \)
\( P_i = \frac{20\pi \text{ dm} \cdot 2,4 \text{ dm}}{2} \)
\( P_i = 10\pi \cdot 2,4 = 24\pi \text{ dm}^2 \)
\( P_i = \frac{20\pi \text{ dm} \cdot 2,4 \text{ dm}}{2} \)
\( P_i = 10\pi \cdot 2,4 = 24\pi \text{ dm}^2 \)
Границу (обим) кружног исечка чине два полупречника и један кружни лук.
\[ O_i = 2r + l \]
\( O_i \) - обим исечка, \( r \) - полупречник, \( l \) - дужина лука
Немојте мешати дужину кружног лука (\( l \)) са обимом целог исечка (\( O_i \)). Обим исечка мора да обухвати и дужине оба полупречника!
Колики је обим кружног исечка чији је полупречник \( 5 \text{ cm} \), а дужина лука \( 4\pi \text{ cm} \)?
\( O_i = 2r + l \)
\( O_i = 2 \cdot 5 + 4\pi \)
\( O_i = (10 + 4\pi) \text{ cm} \)
\( O_i = 2 \cdot 5 + 4\pi \)
\( O_i = (10 + 4\pi) \text{ cm} \)
Задаци за вежбање
Лак: Круг полупречника \( 18 \text{ cm} \) подељен је на 12 једнаких кружних исечака. Колика је површина једног од тих исечака?
Укупна површина круга је \( P = 18^2\pi = 324\pi \text{ cm}^2 \).
Пошто је круг подељен на 12 једнаких делова, површина једног исечка је 12 пута мања:
\( P_i = \frac{324\pi}{12} = 27\pi \text{ cm}^2 \).
Пошто је круг подељен на 12 једнаких делова, површина једног исечка је 12 пута мања:
\( P_i = \frac{324\pi}{12} = 27\pi \text{ cm}^2 \).
Средњи: Површина кружног исечка коме одговара угао мере \( 30^\circ \) јесте \( 3\pi \text{ cm}^2 \). Одреди полупречник тог исечка, а затим израчунај и његов обим.
Прво тражимо полупречник преко формуле за површину:
\( P_i = \frac{r^2\pi}{360^\circ} \cdot \alpha \)
\( 3\pi = \frac{r^2\pi}{360^\circ} \cdot 30^\circ \)
\( 3\pi = \frac{r^2\pi}{12} \)
\( 36\pi = r^2\pi \implies r^2 = 36 \implies r = 6 \text{ cm} \)
Да бисмо нашли обим, потребна нам је дужина лука \( l \):
\( l = \frac{r\pi}{180^\circ} \cdot \alpha = \frac{6\pi}{180^\circ} \cdot 30^\circ = \frac{180\pi}{180} = \pi \text{ cm} \)
Сада рачунамо обим:
\( O_i = 2r + l = 2 \cdot 6 + \pi = (12 + \pi) \text{ cm} \).
\( P_i = \frac{r^2\pi}{360^\circ} \cdot \alpha \)
\( 3\pi = \frac{r^2\pi}{360^\circ} \cdot 30^\circ \)
\( 3\pi = \frac{r^2\pi}{12} \)
\( 36\pi = r^2\pi \implies r^2 = 36 \implies r = 6 \text{ cm} \)
Да бисмо нашли обим, потребна нам је дужина лука \( l \):
\( l = \frac{r\pi}{180^\circ} \cdot \alpha = \frac{6\pi}{180^\circ} \cdot 30^\circ = \frac{180\pi}{180} = \pi \text{ cm} \)
Сада рачунамо обим:
\( O_i = 2r + l = 2 \cdot 6 + \pi = (12 + \pi) \text{ cm} \).
Тежак: Површина целог круга је \( 64\pi \text{ cm}^2 \). Израчунај површину и обим кружног исечка тог круга коме одговара централни угао од \( 135^\circ \).
Из површине круга налазимо полупречник:
\( P = r^2\pi \implies 64\pi = r^2\pi \implies r^2 = 64 \implies r = 8 \text{ cm} \).
Површина кружног исечка:
\( P_i = \frac{r^2\pi}{360^\circ} \cdot \alpha = \frac{64\pi}{360^\circ} \cdot 135^\circ \)
Скраћујемо \( 135 \) и \( 360 \) са \( 45 \), добијамо \( \frac{3}{8} \).
\( P_i = 64\pi \cdot \frac{3}{8} = 8\pi \cdot 3 = 24\pi \text{ cm}^2 \).
Дужина лука:
\( l = \frac{r\pi}{180^\circ} \cdot \alpha = \frac{8\pi}{180^\circ} \cdot 135^\circ = 8\pi \cdot \frac{3}{4} = 6\pi \text{ cm} \).
Обим кружног исечка:
\( O_i = 2r + l = 2 \cdot 8 + 6\pi = (16 + 6\pi) \text{ cm} \).
\( P = r^2\pi \implies 64\pi = r^2\pi \implies r^2 = 64 \implies r = 8 \text{ cm} \).
Површина кружног исечка:
\( P_i = \frac{r^2\pi}{360^\circ} \cdot \alpha = \frac{64\pi}{360^\circ} \cdot 135^\circ \)
Скраћујемо \( 135 \) и \( 360 \) са \( 45 \), добијамо \( \frac{3}{8} \).
\( P_i = 64\pi \cdot \frac{3}{8} = 8\pi \cdot 3 = 24\pi \text{ cm}^2 \).
Дужина лука:
\( l = \frac{r\pi}{180^\circ} \cdot \alpha = \frac{8\pi}{180^\circ} \cdot 135^\circ = 8\pi \cdot \frac{3}{4} = 6\pi \text{ cm} \).
Обим кружног исечка:
\( O_i = 2r + l = 2 \cdot 8 + 6\pi = (16 + 6\pi) \text{ cm} \).
