Најважније из лекције
- Концентрични кругови су кругови са истим центром.
- Кружни прстен је део равни између два концентрична круга различитих полупречника (\( r_1 > r_2 \)).
- Површина кружног прстена рачуна се као разлика површина већег и мањег круга: \( P_p = (r_1^2 - r_2^2)\pi \).
- Обим кружног прстена рачуна се као збир обима већег и мањег круга: \( O_p = 2r_1\pi + 2r_2\pi \).
Концентрични кругови су кругови који припадају истој равни и имају заједнички центар.
Кружни прстен је део већег круга који се налази изван мањег концентричног круга. Одређен је са два концентрична круга полупречника \( r_1 \) и \( r_2 \), при чему је \( r_1 > r_2 \).
Да би кружни прстен постојао, кругови морају имати исти центар и различите полупречнике.
Површина кружног прстена добија се када се од површине већег круга одузме површина мањег круга.
\[ P_p = r_1^2\pi - r_2^2\pi = (r_1^2 - r_2^2)\pi \]
где су \( r_1 \) спољашњи, а \( r_2 \) унутрашњи полупречник прстена (\( r_1 > r_2 \)).
Ако су дата два концентрична круга са површинама \( 121\pi \text{ cm}^2 \) и \( 36\pi \text{ cm}^2 \), површина њиховог кружног прстена је:
\[ P_p = 121\pi \text{ cm}^2 - 36\pi \text{ cm}^2 = 85\pi \text{ cm}^2 \]
Израчунај површину кружног прстена ако су дати полупречници концентричних кругова \( r_1 = 7\text{ cm} \) и \( r_2 = 5\text{ cm} \).
Примењујемо формулу за површину:
\[ P_p = (7^2 - 5^2)\pi \text{ cm}^2 = (49 - 25)\pi \text{ cm}^2 = 24\pi \text{ cm}^2 \]
Одговор: Површина је \( 24\pi \text{ cm}^2 \).
Границу кружног прстена чине две кружнице (већа и мања). Зато је обим кружног прстена једнак збиру обима тих кругова.
\[ O_p = 2r_1\pi + 2r_2\pi \]
где су \( r_1 \) и \( r_2 \) полупречници концентричних кругова (\( r_1 > r_2 \)).
Ако су полупречници кругова \( 10\text{ dm} \) и \( 5\text{ dm} \), обим прстена је:
\[ O_p = 2 \cdot 10\pi + 2 \cdot 5\pi = 20\pi + 10\pi = 30\pi \text{ dm} \]
Ако је обим већег круга \( 16\pi \text{ cm} \), а мањег \( 6\pi \text{ cm} \), колики је обим кружног прстена који они формирају?
Како је обим кружног прстена једнак збиру обима кругова који га чине:
\[ O_p = O_1 + O_2 = 16\pi \text{ cm} + 6\pi \text{ cm} = 22\pi \text{ cm} \]
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај површину и обим кружног прстена који је одређен концентричним круговима чији су полупречници \( 8\text{ cm} \) и \( 6\text{ cm} \).
Површина:
\[ P_p = (8^2 - 6^2)\pi = (64 - 36)\pi = 28\pi \text{ cm}^2 \]
Обим:
\[ O_p = 2 \cdot 8\pi + 2 \cdot 6\pi = 16\pi + 12\pi = 28\pi \text{ cm} \]
Средњи: Површина кружног прстена је \( 75\pi \text{ dm}^2 \). Спољашњи полупречник има дужину \( 10\text{ dm} \). Израчунај дужину унутрашњег полупречника тог кружног прстена.
Користимо формулу \( P_p = P_1 - P_2 \), где је \( P_1 \) површина већег круга.
\[ 75\pi = 10^2\pi - r_2^2\pi \]
\[ 75\pi = 100\pi - r_2^2\pi \]
\[ r_2^2\pi = 100\pi - 75\pi = 25\pi \]
\[ r_2^2 = 25 \implies r_2 = 5\text{ dm} \]
Одговор: Дужина унутрашњег полупречника је \( 5\text{ dm} \).
Тежак: Кружни прстен одређен је описаним и уписаним кругом једнакостраничног троугла чија је страница \( a = 6\sqrt{3}\text{ cm} \). Одреди површину тог кружног прстена.
Прво рачунамо полупречник описаног (\( R \)) и уписаног (\( r \)) круга једнакостраничног троугла:
\[ R = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{18}{3} = 6\text{ cm} \]
\[ r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{18}{6} = 3\text{ cm} \]
Површина кружног прстена је:
\[ P_p = R^2\pi - r^2\pi = 6^2\pi - 3^2\pi = 36\pi - 9\pi = 27\pi \text{ cm}^2 \]
Одговор: Површина прстена је \( 27\pi \text{ cm}^2 \).
