Најважније из лекције
Преглед кључних формула и правила:
- Пречник и тетива: \( d = 2r \); веза са одстојањем: \( r^2 = d_t^2 + \left(\frac{t}{2}\right)^2 \).
- Углови: Централни угао \( \alpha = 2\beta \); угао над пречником је увек \( 90^\circ \).
- Обим и дужина лука: \( O = 2r\pi \), \( l = \frac{r\pi\alpha}{180^\circ} \).
- Површине: Круг \( P = r^2\pi \); Исечак \( P_i = \frac{r^2\pi\alpha}{360^\circ} = \frac{lr}{2} \); Прстен \( P_p = (r_1^2 - r_2^2)\pi \).
- Ротација: Изометријска трансформација одређена центром \( O \), углом \( \alpha \) и смером (позитиван = супротно од казаљке на сату).
Кружница \( k(O, r) \) је скуп свих тачака равни које су на једнаком растојању \( r \) (полупречник) од фиксне тачке \( O \) (центар).
Круг \( K(O, r) \) је геометријска фигура коју чине кружница и њена унутрашња област.
| Елемент | Дефиниција и ознака | Кључна својства |
|---|---|---|
| Полупречник (\( r \)) | Дуж која спаја центар са било којом тачком кружнице. | Сви полупречници истог круга су једнаких дужина. |
| Тетива | Дуж чије крајње тачке припадају кружници. | Нормала из центра на тетиву полови ту тетиву. |
| Пречник (\( d \)) | Тетива која садржи центар круга. | Најдужа тетива круга; \( d = 2r \). |
\[ d = 2r \qquad r^2 = d_t^2 + \left(\frac{t}{2}\right)^2 \]
где је \( d \) пречник, \( r \) полупречник, \( t \) дужина тетиве, а \( d_t \) централно одстојање тетиве (растојање од центра до тетиве).
Ако је полупречник круга \( r = 10\text{ cm} \), а дужина тетиве \( t = 16\text{ cm} \), централно одстојање тетиве \( d_t \) рачуна се преко правоуглог троугла:
\[ d_t = \sqrt{r^2 - \left(\frac{t}{2}\right)^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6\text{ cm} \]
Права и круг могу имати три положаја у зависности од растојања \( d \) центра круга од праве:
- \( d > r \): Права и круг немају заједничких тачака (спољашња права).
- \( d = r \): Права и круг имају тачно једну заједничку тачку - права је тангента (\( t \)). Тангента је нормална на полупречник у тачки додира (\( t \perp r \)).
- \( d < r \): Права сече круг у две тачке - права је сечица, а дуж између пресечних тачака је тетива.
Узајамни положај два круга \( K_1(O_1, r_1) \) и \( K_2(O_2, r_2) \) (\( r_1 \ge r_2 \)) у зависности од растојања центара \( d = O_1O_2 \):
| Растојање центара (\( d \)) | Међусобни однос кругова | Број заједничких тачака |
|---|---|---|
| \( d > r_1 + r_2 \) | Кругови су један ван другог | 0 |
| \( d = r_1 + r_2 \) | Додирују се споља | 1 |
| \( r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2 \) | Кругови се секу | 2 |
| \( d = r_1 - r_2 \) | Додирују се изнутра | 1 |
| \( 0 < d < r_1 - r_2 \) | Мањи круг је унутар већег (неконцентрични) | 0 |
| \( d = 0 \) | Концентрични кругови (исти центар) | 0 |
Централни угао (\( \alpha \)) је угао чије је теме центар круга, а краци садрже полупречнике.
Периферијски угао (\( \beta \)) је конвексан угао чије теме припада кружници, а краци секу кружницу (садрже тетиве).
Централни угао круга је два пута већи од периферијског угла над истим кружним луком:
\[ \alpha = 2\beta \quad \text{односно} \quad \beta = \frac{\alpha}{2} \]
Важне последице:
- Сви периферијски углови над истим луком (или над једнаким луковима) међусобно су једнаки.
- Талесова теорема: Сваки периферијски угао над пречником круга је прав угао (\( 90^\circ \)), јер му одговара централни угао од \( 180^\circ \).
Ако је периферијски угао \( \beta = 35^\circ \), одговарајући централни угао над истим луком је \( \alpha = 2 \cdot 35^\circ = 70^\circ \).
Број \( \pi \) представља константан однос обима круга и његовог пречника (\( \pi = \frac{O}{2r} \)). Број \( \pi \) је ирационалан (\( \pi \approx 3,14 \)).
\[ O = 2r\pi = d\pi \]
Образац за обим круга полупречника \( r \).
Кружни лук (\( l \)) је део кружнице између две тачке. Његова дужина сразмерна је одговарајућем централном углу \( \alpha \).
\[ l = \frac{r\pi}{180^\circ} \cdot \alpha \]
Образац за дужину кружног лука над централним углом \( \alpha \).
Израчунај дужину кружног лука полупречника \( r = 6\text{ cm} \) коме одговара централни угао од \( 60^\circ \).
\[ l = \frac{6\pi}{180^\circ} \cdot 60^\circ = \frac{6\pi}{3} = 2\pi\text{ cm} \approx 6,28\text{ cm} \]
\[ P = r^2\pi \]
Образац за површину круга полупречника \( r \).
Кружни исечак је део круга ограничен са два полупречника и кружним луком.
\[ P_i = \frac{r^2\pi}{360^\circ} \cdot \alpha = \frac{l \cdot r}{2} \qquad O_i = 2r + l \]
\( P_i \) је површина, а \( O_i \) обим кружног исечка.
Кружни прстен је део равни између два концентрична круга полупречника \( r_1 \) и \( r_2 \) (\( r_1 > r_2 \)).
\[ P_p = (r_1^2 - r_2^2)\pi \qquad O_p = 2\pi(r_1 + r_2) \]
\( P_p \) је површина, а \( O_p \) укупан обим (збир унутрашњег и спољашњег обима) кружног прстена.
За кружни прстен одређен полупречницима \( r_1 = 5\text{ cm} \) и \( r_2 = 3\text{ cm} \):
\[ P_p = (5^2 - 3^2)\pi = (25 - 9)\pi = 16\pi\text{ cm}^2 \]
| Фигура (страница \( a \)) | Полупречник уписаног круга (\( r_u \)) | Полупречник описаног круга (\( R_o \)) |
|---|---|---|
| Квадрат | \( r_u = \frac{a}{2} \) | \( R_o = \frac{a\sqrt{2}}{2} \) |
| Једнакостранични троугао | \( r_u = \frac{a\sqrt{3}}{6} \) | \( R_o = \frac{a\sqrt{3}}{3} \) |
| Правилни шестоугао | \( r_u = \frac{a\sqrt{3}}{2} \) | \( R_o = a \) |
| Правоугаоник (\( a, b \)) | Нема уписани круг | \( R_o = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} \) |
Оријентисани угао:
- Позитиван смер: Смер супротан кретању казаљке на сату.
- Негативан смер: Смер кретања казаљке на сату.
Ротација са центром \( O \) за угао \( \alpha \) (\( \mathcal{R}_O^\alpha \)) је пресликавање које сваку тачку \( A \) пресликава у тачку \( A_1 \) тако да важи:
- \( OA = OA_1 \)
- \( \angle AOA_1 = \alpha \) (у задатом смеру оријентације)
- Центар ротације \( O \) се пресликава у самог себе (\( O \equiv O_1 \)).
Особине ротације:
- Ротација је изометрија (чува растојање између тачака).
- Пресликава дуж у подударну дуж, а троугао у подударан троугао (\( \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 \)).
- Ротација за \( 180^\circ \) представља централну симетрију.
- Ротацијом тачке \( A(x, y) \) око координатног почетка \( O(0,0) \) за \( +90^\circ \) добија се тачка \( A'(-y, x) \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунај обим и површину круга чији је пречник \( d = 12\text{ cm} \).
Полупречник је \( r = \frac{d}{2} = \frac{12}{2} = 6\text{ cm} \).
Обим круга: \[ O = 2r\pi = 2 \cdot 6 \cdot \pi = 12\pi\text{ cm} \] Површина круга: \[ P = r^2\pi = 6^2 \cdot \pi = 36\pi\text{ cm}^2 \]
Обим круга: \[ O = 2r\pi = 2 \cdot 6 \cdot \pi = 12\pi\text{ cm} \] Површина круга: \[ P = r^2\pi = 6^2 \cdot \pi = 36\pi\text{ cm}^2 \]
Задатак 2 (средњи): Периферијски угао над кружним луком износи \( 45^\circ \). Ако је полупречник круга \( r = 8\text{ cm} \), израчунај:
а) мере одговарајућег централног угла;
б) дужину тог кружног лука;
в) површину одговарајућег кружног исечка.
а) мере одговарајућег централног угла;
б) дужину тог кружног лука;
в) површину одговарајућег кружног исечка.
а) Централни угао је двоструко већи од периферијског:
\[ \alpha = 2 \cdot \beta = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ \]
б) Дужина кружног лука:
\[ l = \frac{r\pi}{180^\circ} \cdot \alpha = \frac{8\pi}{180^\circ} \cdot 90^\circ = 4\pi\text{ cm} \]
в) Површина кружног исечка:
\[ P_i = \frac{l \cdot r}{2} = \frac{4\pi \cdot 8}{2} = 16\pi\text{ cm}^2 \]
Задатак 3 (средњи): Око квадрата странице \( a = 6\text{ cm} \) описан је и у њега уписан круг. Израчунај површину кружног прстена формираног између ова два круга.
Полупречник уписаног круга: \( r = \frac{a}{2} = 3\text{ cm} \).
Полупречник описаног круга: \( R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\text{ cm} \).
Површина кружног прстена: \[ P_p = (R^2 - r^2)\pi = \left((3\sqrt{2})^2 - 3^2\right)\pi = (18 - 9)\pi = 9\pi\text{ cm}^2 \]
Полупречник описаног круга: \( R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\text{ cm} \).
Површина кружног прстена: \[ P_p = (R^2 - r^2)\pi = \left((3\sqrt{2})^2 - 3^2\right)\pi = (18 - 9)\pi = 9\pi\text{ cm}^2 \]
Задатак 4 (тежак): Тетива дужине \( 24\text{ cm} \) удаљена је од центра круга \( 5\text{ cm} \). Израчунај површину круга и дужину кружнице.
Половина тетиве износи \( \frac{t}{2} = \frac{24}{2} = 12\text{ cm} \), а централно одстојање је \( d_t = 5\text{ cm} \).
Применом Питагорине теореме налазимо полупречник круга \( r \): \[ r = \sqrt{d_t^2 + \left(\frac{t}{2}\right)^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\text{ cm} \] Дужина кружнице (обим): \[ O = 2r\pi = 2 \cdot 13 \cdot \pi = 26\pi\text{ cm} \] Површина круга: \[ P = r^2\pi = 13^2 \cdot \pi = 169\pi\text{ cm}^2 \]
Применом Питагорине теореме налазимо полупречник круга \( r \): \[ r = \sqrt{d_t^2 + \left(\frac{t}{2}\right)^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\text{ cm} \] Дужина кружнице (обим): \[ O = 2r\pi = 2 \cdot 13 \cdot \pi = 26\pi\text{ cm} \] Површина круга: \[ P = r^2\pi = 13^2 \cdot \pi = 169\pi\text{ cm}^2 \]
