Најважније из лекције
Површина круга: \( P = r^2\pi \).
Правилни многоуглови уписани у круг:
Правилни многоуглови уписани у круг:
- Страница правилног шестоугла једнака је полупречнику (\( a = r \)).
- Страница једнакостраничног троугла је \( a = r\sqrt{3} \), а његова површина је \( \frac{3r^2\sqrt{3}}{4} \).
Круг је скуп свих тачака у равни чије је растојање од једне фиксне тачке (центра) мање или једнако датом растојању (полупречнику \( r \)).
Површина круга:
\[ P = r^2\pi \]
Део круга ограничен луком и тетивом која спаја крајеве тог лука назива се кружни одсечак.
Многе сложене геометријске фигуре се састоје од кругова у које су уписани правилни многоуглови, попут једнакостраничног троугла или правилног шестоугла.
Једнакостранични троугао уписан у круг полупречника \( r \):
Дужина странице: \( a = r\sqrt{3} \)
Површина троугла: \[ P_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(r\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3r^2\sqrt{3}}{4} \]
Дужина странице: \( a = r\sqrt{3} \)
Површина троугла: \[ P_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(r\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3r^2\sqrt{3}}{4} \]
Правилни шестоугао уписан у круг полупречника \( r \):
Дужина странице једнака је полупречнику круга: \( a = r \)
Дужина странице једнака је полупречнику круга: \( a = r \)
Ако је тетива круга једнака његовом полупречнику (\( t = r \)), она одговара централном углу од \( 60^\circ \).
Геометријски орнаменти (нпр. цветови, розете, преклопљени кругови) конструишу се правилним распоређивањем кругова, полукругова и кружних лукова.
Површина сложених фигура израчунава се тако што се фигура разложи на познате основне делове (троуглове, кружне исечке, кружне одсечке).
Укупна површина се добија сабирањем површина саставних делова или одузимањем површине "празног" (неосенченог) простора од укупне површине основне фигуре.
Задаци за вежбање
Лаки ниво: Израчунај површину круга ако је његов пречник \( 20 \text{ cm} \).
Ако је пречник \( 20 \text{ cm} \), полупречник је \( r = 10 \text{ cm} \).
Површина круга је \( P = r^2\pi \).
\( P = 10^2\pi = 100\pi \text{ cm}^2 \).
Површина круга је \( P = r^2\pi \).
\( P = 10^2\pi = 100\pi \text{ cm}^2 \).
Средњи ниво: У круг полупречника \( r = 4 \text{ cm} \) уписан је правилни шестоугао. Израчунај површину дела круга који се налази изван тог шестоугла (укупну површину шест кружних одсечака).
Површина се рачуна као разлика површине круга и површине шестоугла: \( P_{остатка} = P_{круга} - P_{шестоугла} \).
1. Површина круга: \( P_{круга} = r^2\pi = 4^2\pi = 16\pi \text{ cm}^2 \).
2. Правилни шестоугао се састоји од 6 једнакостраничних троуглова чија је страница \( a = r = 4 \text{ cm} \).
Површина једног троугла: \( P_1 = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \text{ cm}^2 \).
Површина шестоугла: \( P_{шестоугла} = 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \text{ cm}^2 \).
3. Тражена површина: \( P_{остатка} = (16\pi - 24\sqrt{3}) \text{ cm}^2 \).
1. Површина круга: \( P_{круга} = r^2\pi = 4^2\pi = 16\pi \text{ cm}^2 \).
2. Правилни шестоугао се састоји од 6 једнакостраничних троуглова чија је страница \( a = r = 4 \text{ cm} \).
Површина једног троугла: \( P_1 = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \text{ cm}^2 \).
Површина шестоугла: \( P_{шестоугла} = 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \text{ cm}^2 \).
3. Тражена површина: \( P_{остатка} = (16\pi - 24\sqrt{3}) \text{ cm}^2 \).
Тешки ниво: Једнакостранични троугао \( ABC \) уписан је у круг површине \( 1000\pi \). На кружници се налазе тачке \( M, P \) и \( S \) тако да су дужине тетива \( MB, PC \) и \( SA \) једнаке дужини полупречника тог круга. Израчунај укупну површину три кружна одсечка који се налазе између страница троугла и кружнице.
Тражена површина три одсечка је заправо површина круга умањена за површину уписаног једнакостраничног троугла. Податак да су тетиве \( MB, PC, SA \) једнаке полупречнику значи да оне одговарају углу од \( 60^\circ \), што само потврђује да су тачке \( M, P, S \) средишта лукова између темена троугла (јер је лук између темена \( 120^\circ \), па је \( 120^\circ - 60^\circ = 60^\circ \)).
1. Из површине круга налазимо полупречник на квадрат: \( P_{круга} = r^2\pi = 1000\pi \Rightarrow r^2 = 1000 \).
2. Рачунамо површину уписаног једнакостраничног троугла. Страница троугла је \( a = r\sqrt{3} \). \[ P_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(r\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3r^2\sqrt{3}}{4} \] Замењујемо \( r^2 = 1000 \): \[ P_{\triangle} = \frac{3 \cdot 1000 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{3000\sqrt{3}}{4} = 750\sqrt{3} \]
3. Укупна површина кружних одсечака је разлика ових површина: \[ P_{одсечака} = 1000\pi - 750\sqrt{3} \]
1. Из површине круга налазимо полупречник на квадрат: \( P_{круга} = r^2\pi = 1000\pi \Rightarrow r^2 = 1000 \).
2. Рачунамо површину уписаног једнакостраничног троугла. Страница троугла је \( a = r\sqrt{3} \). \[ P_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(r\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3r^2\sqrt{3}}{4} \] Замењујемо \( r^2 = 1000 \): \[ P_{\triangle} = \frac{3 \cdot 1000 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{3000\sqrt{3}}{4} = 750\sqrt{3} \]
3. Укупна површина кружних одсечака је разлика ових површина: \[ P_{одсечака} = 1000\pi - 750\sqrt{3} \]
