VI.1.4. Забавна Страна

Корак 1: Колико укупно има ваза и цветова?

Саберемо све вазе: \[ 10 + 10 + 10 = 30 \text{ ваза} \] Саберемо све цветове (беле вазе имају 1 цвет, жуте 2, плаве 3): \[ 10 \cdot 1 + 10 \cdot 2 + 10 \cdot 3 = 10 + 20 + 30 = 60 \text{ цветова} \]

Корак 2: Колико ваза и цветова има у једној сали?

Пошто у све три сале има подједнак број ваза и подједнак број цветова, поделимо укупне вредности бројем сала (\(3\)): \[ 30 : 3 = 10 \text{ ваза у једној сали} \] \[ 60 : 3 = 20 \text{ цветова у једној сали} \] Дакле, у свакој сали треба да буде тачно \(10\) ваза које заједно носе тачно \(20\) цветова.

Корак 3: Бројање „вишка" цветова

Обележимо са \(b\) број белих, са \(z\) број жутих и са \(p\) број плавих ваза у једној сали. Тада је \[ b + z + p = 10. \] Размислимо о цветовима на једноставан начин. Када би свих \(10\) ваза биле беле, оне би носиле само \(10\) цветова. Нама треба \(20\) цветова, значи фали још \(10\) цветова „вишка". Свака жута ваза има један цвет више од беле (\(2 - 1 = 1\) цвет вишка), а свака плава ваза има два цвета више од беле (\(3 - 1 = 2\) цвета вишка). Зато је укупан вишак цветова: \[ z \cdot 1 + p \cdot 2 = 10, \quad \text{тј.} \quad z + 2p = 10. \]

Корак 4: Веза између белих и плавих ваза

Из \( z + 2p = 10 \) следи \( z = 10 - 2p \). Уврстимо то у број ваза: \[ b = 10 - z - p = 10 - (10 - 2p) - p = p. \] Дакле, у свакој сали има једнако белих и плавих ваза: \( b = p \).

Корак 5: Разматрање услова задатка

Услови су:

• бар једна ваза сваке боје, значи \( b \ge 1,\ z \ge 1,\ p \ge 1 \);
• „више од половине ваза није исте боје" — половина од \(10\) ваза је \(5\), па за сваку боју мора важити да их има мање од \(5\), тј. највише \(4\). Значи \( b \le 4,\ z \le 4,\ p \le 4 \).

Пробамо дозвољене вредности за број плавих ваза \(p\) (сетимо се да је \( z = 10 - 2p \) и \( b = p \)):

• \( p = 1:\ z = 10 - 2 = 8 \) — али \( z = 8 > 4 \), не важи;
• \( p = 2:\ z = 10 - 4 = 6 \) — али \( z = 6 > 4 \), не важи;
• \( p = 3:\ z = 10 - 6 = 4,\ b = 3 \) — све је између \(1\) и \(4\), важи;
• \( p = 4:\ z = 10 - 8 = 2,\ b = 4 \) — све је између \(1\) и \(4\), важи;
• \( p = 5:\ z = 10 - 10 = 0 \) — нема жутих, не важи.

Добијамо две могуће поставке за једну салу: \[ (b, z, p) = (3, 4, 3) \quad \text{или} \quad (b, z, p) = (4, 2, 4). \] Провера цветова: \(3\cdot1 + 4\cdot2 + 3\cdot3 = 3+8+9 = 20\) ✓ и \(4\cdot1 + 2\cdot2 + 4\cdot3 = 4+4+12 = 20\) ✓.

Корак 6: Како распоредити те поставке на три сале?

У све три сале заједно има тачно \(10\) белих, \(10\) жутих и \(10\) плавих ваза. Нека је распоред такав да \(x\) сала има поставку \((3,4,3)\), а преостале сале поставку \((4,2,4)\). Пошто су сале три: \[ (\text{број сала типа } (4,2,4)) = 3 - x. \] Погледамо жуте вазе (њих укупно мора бити \(10\)): \[ 4 \cdot x + 2 \cdot (3 - x) = 10. \] Ово је линеарна једначина са једном непознатом \(x\): \[ 4x + 6 - 2x = 10 \] \[ 2x = 4 \] \[ x = 2. \] Дакле \(2\) сале имају поставку \((3,4,3)\), а \(3 - 2 = 1\) сала има поставку \((4,2,4)\). Провера укупних бројева: беле \(3+3+4 = 10\) ✓, жуте \(4+4+2 = 10\) ✓, плаве \(3+3+4 = 10\) ✓.

Одговор

У две сале се налази по \(3\) беле, \(4\) жуте и \(3\) плаве вазе, а у трећој сали се налазе \(4\) беле, \(2\) жуте и \(4\) плаве вазе.

По сали: \(10\) ваза и \(20\) цветова. Вишак цветова: \(z + 2p = 10\), па \(b = p\). Уз услов да сваке боје има од \(1\) до \(4\), могуће су само поставке \((3,4,3)\) и \((4,2,4)\). Да укупно буде \(10\) жутих: \(4x+2(3-x)=10 \Rightarrow x=2\). Две сале имају \(3\) беле, \(4\) жуте и \(3\) плаве, а трећа \(4\) беле, \(2\) жуте и \(4\) плаве.