Најважније из лекције
- Функција директне пропорционалности задаје се формулом \( y = kx \), где је \( k \neq 0 \) константан реалан број (коефицијент).
- График ове функције је права линија која обавезно пролази кроз координатни почетак \( (0,0) \).
- Ако је \( k > 0 \), права се налази у I и III квадранту (растућа зависност).
- Ако је \( k < 0 \), права се налази у II и IV квадранту (опадајућа зависност).
- За цртање графика довољна је само једна тачка поред координатног почетка. На пример, за \( y = 2x \), узимамо \( x = 1 \), добијамо \( y = 2 \), па спајамо тачке \( (0,0) \) и \( (1,2) \).
Функција из скупа \( A \) у скуп \( B \) јесте правило придруживања по ком се сваком елементу скупа \( A \) придружује тачно један елемент скупа \( B \).
Ако су елементи скупова бројеви, функцију можемо представити на три основна начина: формулом, табелом или графиком.
Нека једно јаје кошта 8 динара. Број јаја обележавамо са \( x \), а укупну цену са \( y \).
Формула: \( y = 8x \)
Табела:
График: У координатном систему, ово би биле тачке са координатама \( (0,0), (1,8), (2,16), (3,24) \).
Формула: \( y = 8x \)
Табела:
| \( x \) (број јаја) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \( y \) (цена у дин.) | 0 | 8 | 16 | 24 |
График: У координатном систему, ово би биле тачке са координатама \( (0,0), (1,8), (2,16), (3,24) \).
Да ли правило које једном истом броју \( x \) придружује два различита броја \( y \) представља функцију?
Одговор: Не. По дефиницији функције, сваком елементу првог скупа (сваком \( x \)) мора се придружити тачно један елемент другог скупа (\( y \)).
Функција директне пропорционалности је функција која сваком броју \( x \) придружује тачно један број \( y \) множећи га константним бројем различитим од нуле.
\[ y = kx \]
где је \( k \) реалан број различит од нуле (\( k \neq 0 \)).
Број \( k \) се назива коефицијент директне пропорционалности.
Ако претварамо центиметре у милиметре, сваки центиметар има 10 милиметара. Формула је \( y = 10x \). Овде је функција директно пропорционална, а коефицијент \( k \) износи 10.
Ако је функција задата формулом \( y = -5x \), одреди вредност функције \( y \) за \( x = 2 \). Колики је коефицијент \( k \)?
Замењујемо \( x = 2 \) у формулу: \( y = -5 \cdot 2 = -10 \).
Коефицијент директне пропорционалности је број уз \( x \), дакле \( k = -5 \).
Коефицијент директне пропорционалности је број уз \( x \), дакле \( k = -5 \).
Све тачке графика функције директне пропорционалности припадају правој која садржи координатни почетак \( (0,0) \) и не поклапа се са координатним осама.
Положај праве (графика) у координатном систему зависи од знака коефицијента \( k \):
- Ако је \( k > 0 \), права пролази кроз први и трећи (I и III) квадрант.
- Ако је \( k < 0 \), права пролази кроз други и четврти (II и IV) квадрант.
Да бисмо нацртали график функције \( y = kx \), довољно је да одредимо само још једну тачку графика (поред координатног почетка), уцртамо је у координатни систем и кроз ту тачку и координатни почетак повучемо праву.
У којим квадрантима се налази график функције \( y = -\frac{1}{2}x \)?
Коефицијент директне пропорционалности је \( k = -\frac{1}{2} \). Пошто је \( k < 0 \) (негативан број), график ове функције пролази кроз други и четврти квадрант.
Задаци за вежбање
Лаки ниво: За функцију директне пропорционалности задату формулом \( y = 12x \), одреди коефицијент директне пропорционалности и израчунај вредност \( y \) за \( x = 3 \).
Коефицијент директне пропорционалности је \( k = 12 \).
За \( x = 3 \), вредност функције је \( y = 12 \cdot 3 = 36 \).
За \( x = 3 \), вредност функције је \( y = 12 \cdot 3 = 36 \).
Средњи ниво: Величина \( y \) је директно пропорционална величини \( x \). Ако је за \( x = 4 \) вредност \( y = 20 \), напиши формулу те функције.
Пошто су величине директно пропорционалне, важи формула \( y = kx \).
Замењујемо познате вредности да бисмо нашли \( k \):
\( 20 = k \cdot 4 \)
\( k = 20 : 4 = 5 \)
Тражена формула је: \( y = 5x \).
Замењујемо познате вредности да бисмо нашли \( k \):
\( 20 = k \cdot 4 \)
\( k = 20 : 4 = 5 \)
Тражена формула је: \( y = 5x \).
Тежи ниво: Да ли тачка \( M(-2, 6) \) припада графику функције \( y = -3x \)? Кроз које квадранте пролази овај график?
Да бисмо проверили да ли тачка припада графику, замењујемо њене координате \( x = -2 \) и \( y = 6 \) у формулу функције:
Лева страна: \( y = 6 \)
Десна страна: \( -3 \cdot (-2) = 6 \)
Пошто је \( 6 = 6 \), тачка припада графику функције.
Како је коефицијент \( k = -3 \) (мањи од нуле), график пролази кроз други и четврти квадрант.
Лева страна: \( y = 6 \)
Десна страна: \( -3 \cdot (-2) = 6 \)
Пошто је \( 6 = 6 \), тачка припада графику функције.
Како је коефицијент \( k = -3 \) (мањи од нуле), график пролази кроз други и четврти квадрант.
