I.7. Функција Директне Пропорционалности

Одређивање коефицијента директне пропорционалности

Функција директне пропорционалности има општи облик \( y = kx \). Да бисмо одредили коефицијент \( k \), користимо координате тачке \( A\left(\sqrt{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \) која припада овом графику. Заменом вредности \( x = \sqrt{2} \) и \( y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) у формулу добијамо: \[ -\frac{\sqrt{2}}{2} = k \cdot \sqrt{2} \] Одавде израчунавамо \( k \): \[ k = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}} = -\frac{\cancel{\sqrt{2}}^1}{2} \cdot \frac{1}{\cancel{\sqrt{2}}_1} = -\frac{1}{2} \] Дакле, формула функције је \( y = -\frac{1}{2}x \).

Провера припадности тачака графику

Сада ћемо проверити коју од понуђених тачака задовољава формула \( y = -\frac{1}{2}x \): - За тачку \( B(0, 0) \): Сваки график директне пропорционалности \( y = kx \) пролази кроз координатни почетак. Провером: \[ 0 = -\frac{1}{2} \cdot 0 = 0 \] Једнакост важи, па тачка \( B \) припада графику. - За тачку \( C\left(1, -\frac{1}{2}\right) \): Заменимо \( x = 1 \): \[ y = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2} \] Добијена вредност \( y \) одговара координати тачке \( C \), па тачка \( C \) припада графику. - За тачку \( D(-100, 50) \): Заменимо \( x = -100 \): \[ y = -\frac{1}{\cancel{2}_1} \cdot (-\cancel{100}^{50}) = 50 \] Једнакост важи, па тачка \( D \) припада графику. - За тачку \( E(2\sqrt{5}, -\sqrt{5}) \): Заменимо \( x = 2\sqrt{5} \): \[ y = -\frac{1}{\cancel{2}_1} \cdot \cancel{2}^1\sqrt{5} = -\sqrt{5} \] Једнакост важи, па тачка \( E \) припада графику. - За тачку \( F\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\sqrt{5}\right) \): Заменимо \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ y = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{4} \] Како је \( -\frac{\sqrt{2}}{4} \neq -\sqrt{5} \), тачка \( F \) не припада графику.

\( y = kx \Rightarrow -\frac{\sqrt{2}}{2} = k\sqrt{2} \Rightarrow k = -\frac{1}{2} \) \( B(0,0): 0 = -\frac{1}{2} \cdot 0 \Rightarrow \text{Да} \) \( C(1, -\frac{1}{2}): -\frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \cdot 1 \Rightarrow \text{Да} \) \( D(-100, 50): 50 = -\frac{1}{2} \cdot (-100) \Rightarrow \text{Да} \) \( E(2\sqrt{5}, -\sqrt{5}): -\sqrt{5} = -\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} \Rightarrow \text{Да} \) \( F(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\sqrt{5}): -\sqrt{5} \neq -\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{4} \Rightarrow \text{Не} \)