II.5. Примена Питагорине Теореме На Трапез

Код једнакокраког трапеза, повлачењем висине из темена краће основице на дужу основицу, издвајамо правоугли троугао. Хипотенуза тог троугла је крак \( c \), једна катета је висина \( h \), а друга катета је одсечак \( x \) на дужој основици. Одсечак \( x \) израчунавамо по формули: \[ x = \frac{a - b}{2} \] Применом Питагорине теореме на овај правоугли троугао добијамо везу: \[ c^2 = h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2 \]

Први ред табеле

Познато је: \( a = 13 \text{ cm} \), \( b = 7 \text{ cm} \), \( h = 4 \text{ cm} \). Тражимо крак \( c \).

Корак 1: Израчунавање одсечка \( x \)

Прво израчунавамо дужину катете \( x \): \[ x = \frac{13 - 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm} \]

Корак 2: Примена Питагорине теореме

Сада примењујемо Питагорину теорему да бисмо одредили хипотенузу \( c \): \[ c^2 = 4^2 + 3^2 \] \[ c^2 = 16 + 9 \] \[ c^2 = 25 \] Број 25 можемо записати као квадрат броја 5: \[ c^2 = 5^2 \Rightarrow c = 5 \text{ cm} \]

Други ред табеле

Познато је: \( a = 25 \text{ cm} \), \( b = 7 \text{ cm} \), \( c = 15 \text{ cm} \). Тражимо висину \( h \).

Корак 1: Израчунавање одсечка \( x \)

\[ x = \frac{25 - 7}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ cm} \]

Корак 2: Примена Питагорине теореме

Тражимо катету \( h \): \[ 15^2 = h^2 + 9^2 \] \[ 225 = h^2 + 81 \] \[ h^2 = 225 - 81 \] \[ h^2 = 144 \] Број 144 записујемо као квадрат броја 12: \[ h^2 = 12^2 \Rightarrow h = 12 \text{ cm} \]

Трећи ред табеле

Познато је: \( a = 4,2 \text{ cm} \), \( c = 1 \text{ cm} \), \( h = 0,8 \text{ cm} \). Тражимо основицу \( b \).

Корак 1: Израчунавање одсечка \( x \)

\[ 1^2 = 0,8^2 + x^2 \] \[ 1 = 0,64 + x^2 \] \[ x^2 = 1 - 0,64 \] \[ x^2 = 0,36 \] Пошто је \( 0,36 \) квадрат броја \( 0,6 \), имамо: \[ x^2 = 0,6^2 \Rightarrow x = 0,6 \text{ cm} \]

Корак 2: Израчунавање основице \( b \)

Користимо формулу за одсечак \( x \): \[ 0,6 = \frac{4,2 - b}{2} \] \[ 4,2 - b = 0,6 \cdot 2 \] \[ 4,2 - b = 1,2 \] \[ b = 4,2 - 1,2 = 3 \text{ cm} \]

Четврти ред табеле

Познато је: \( b = 20 \text{ cm} \), \( c = 26 \text{ cm} \), \( h = 24 \text{ cm} \). Тражимо основицу \( a \).

Корак 1: Израчунавање одсечка \( x \)

\[ 26^2 = 24^2 + x^2 \] \[ 676 = 576 + x^2 \] \[ x^2 = 676 - 576 \] \[ x^2 = 100 \] Пошто је 100 квадрат броја 10, имамо: \[ x^2 = 10^2 \Rightarrow x = 10 \text{ cm} \]

Корак 2: Израчунавање основице \( a \)

\[ 10 = \frac{a - 20}{2} \] \[ a - 20 = 10 \cdot 2 \] \[ a - 20 = 20 \] \[ a = 20 + 20 = 40 \text{ cm} \]

Корак 3: Попуњавање табеле

На основу свих израчунатих вредности, коначна табела изгледа овако: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline a & b & c & h \\ \hline 13 \text{ cm} & 7 \text{ cm} & \mathbf{5 \text{ cm}} & 4 \text{ cm} \\ \hline 25 \text{ cm} & 7 \text{ cm} & 15 \text{ cm} & \mathbf{12 \text{ cm}} \\ \hline 4,2 \text{ cm} & \mathbf{3 \text{ cm}} & 1 \text{ cm} & 0,8 \text{ cm} \\ \hline \mathbf{40 \text{ cm}} & 20 \text{ cm} & 26 \text{ cm} & 24 \text{ cm} \\ \hline \end{array} \]

\( x = \frac{a-b}{2} \), \( c^2 = h^2 + x^2 \). 1) \( x = \frac{13-7}{2} = 3 \text{ cm} \), \( c^2 = 4^2 + 3^2 = 25 \Rightarrow c = 5 \text{ cm} \) 2) \( x = \frac{25-7}{2} = 9 \text{ cm} \), \( 15^2 = h^2 + 9^2 \Rightarrow h^2 = 144 \Rightarrow h = 12 \text{ cm} \) 3) \( 1^2 = 0,8^2 + x^2 \Rightarrow x^2 = 0,36 \Rightarrow x = 0,6 \text{ cm} \); \( 0,6 = \frac{4,2-b}{2} \Rightarrow b = 3 \text{ cm} \) 4) \( 26^2 = 24^2 + x^2 \Rightarrow x^2 = 100 \Rightarrow x = 10 \text{ cm} \); \( 10 = \frac{a-20}{2} \Rightarrow a = 40 \text{ cm} \) \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline a & b & c & h \\ \hline 13 \text{ cm} & 7 \text{ cm} & 5 \text{ cm} & 4 \text{ cm} \\ \hline 25 \text{ cm} & 7 \text{ cm} & 15 \text{ cm} & 12 \text{ cm} \\ \hline 4,2 \text{ cm} & 3 \text{ cm} & 1 \text{ cm} & 0,8 \text{ cm} \\ \hline 40 \text{ cm} & 20 \text{ cm} & 26 \text{ cm} & 24 \text{ cm} \\ \hline \end{array} \]