Најважније из лекције
Применом Питагорине теореме на трапезе добијамо следеће кључне једнакости:
- Једнакокраки трапез (за крак): \( c^2 = h^2 + \left( \frac{a - b}{2} \right)^2 \)
- Једнакокраки трапез (за дијагоналу): \( d^2 = h^2 + \left( \frac{a + b}{2} \right)^2 \)
- Правоугли трапез (за дужи крак): \( c^2 = h^2 + (a - b)^2 \)
Једнакокраки трапез се помоћу висина (\( h \)) спуштених из темена краће основице може поделити на један правоугаоник и два подударна правоугла троугла.
Катете ових правоуглих троуглова су висина трапеза \( h \) и дуж која представља полуразлику основица: \( x = \frac{a - b}{2} \). Хипотенуза је крак трапеза \( c \).
\[ c^2 = h^2 + \left( \frac{a - b}{2} \right)^2 \]
Ако су основице једнакокраког трапеза \( a = 12\text{ cm} \) и \( b = 4\text{ cm} \), а висина \( h = 3\text{ cm} \), крак рачунамо на следећи начин:
\( c^2 = 3^2 + \left( \frac{12 - 4}{2} \right)^2 \)
\( c^2 = 9 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \)
\( c = 5\text{ cm} \)
\( c^2 = 3^2 + \left( \frac{12 - 4}{2} \right)^2 \)
\( c^2 = 9 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \)
\( c = 5\text{ cm} \)
Дијагонале једнакокраког трапеза су једнаке дужине. Дијагонала (\( d \)) са висином (\( h \)) и већим делом дуже основице гради правоугли троугао.
Дужина дела основице који представља другу катету износи \( a - \frac{a - b}{2} = \frac{a + b}{2} \).
\[ d^2 = h^2 + \left( \frac{a + b}{2} \right)^2 \]
Израчунај дужину дијагонале једнакокраког трапеза ако су основице \( 8\text{ cm} \) и \( 2\text{ cm} \), а висина \( 4\text{ cm} \).
Примењујемо формулу: \( d^2 = h^2 + \left( \frac{a + b}{2} \right)^2 \)
\( d^2 = 4^2 + \left( \frac{8 + 2}{2} \right)^2 \)
\( d^2 = 16 + 5^2 = 16 + 25 = 41 \)
Одговор: \( d = \sqrt{41}\text{ cm} \)
\( d^2 = 4^2 + \left( \frac{8 + 2}{2} \right)^2 \)
\( d^2 = 16 + 5^2 = 16 + 25 = 41 \)
Одговор: \( d = \sqrt{41}\text{ cm} \)
Правоугли трапез је трапез чији је један крак нормалан на основице. Тај крак је уједно и висина трапеза (\( h \)).
Спуштањем висине из темена тупог угла, трапез се дели на један правоугаоник и један правоугли троугао. Катете тог правоуглог троугла су висина \( h \) и разлика основица \( a - b \). Хипотенуза је дужи крак \( c \).
\[ c^2 = h^2 + (a - b)^2 \]
Ако су основице правоуглог трапеза \( a = 9\text{ cm} \) и \( b = 6\text{ cm} \), а висина \( h = 4\text{ cm} \), дужи крак добијамо овако:
\( c^2 = 4^2 + (9 - 6)^2 \)
\( c^2 = 16 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \)
\( c = 5\text{ cm} \)
\( c^2 = 4^2 + (9 - 6)^2 \)
\( c^2 = 16 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \)
\( c = 5\text{ cm} \)
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај висину правоуглог трапеза ако су његове основице \( a = 15\text{ cm} \) и \( b = 10\text{ cm} \), а дужи крак износи \( c = 13\text{ cm} \).
Користимо формулу за правоугли трапез: \( c^2 = h^2 + (a - b)^2 \)
\( 13^2 = h^2 + (15 - 10)^2 \)
\( 169 = h^2 + 5^2 \)
\( h^2 = 169 - 25 = 144 \)
Одговор: Висина трапеза је \( h = 12\text{ cm} \).
\( 13^2 = h^2 + (15 - 10)^2 \)
\( 169 = h^2 + 5^2 \)
\( h^2 = 169 - 25 = 144 \)
Одговор: Висина трапеза је \( h = 12\text{ cm} \).
Средњи: Одреди обим једнакокраког трапеза чије су основице \( a = 14\text{ cm} \) и \( b = 6\text{ cm} \), а висина \( h = 3\text{ cm} \).
Да бисмо израчунали обим (\( O = a + b + 2c \)), прво морамо наћи крак \( c \).
\( c^2 = h^2 + \left( \frac{a - b}{2} \right)^2 \)
\( c^2 = 3^2 + \left( \frac{14 - 6}{2} \right)^2 = 9 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \)
\( c = 5\text{ cm} \)
Сада рачунамо обим:
\( O = 14 + 6 + 2 \cdot 5 = 20 + 10 = 30 \)
Одговор: Обим је \( 30\text{ cm} \).
\( c^2 = h^2 + \left( \frac{a - b}{2} \right)^2 \)
\( c^2 = 3^2 + \left( \frac{14 - 6}{2} \right)^2 = 9 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \)
\( c = 5\text{ cm} \)
Сада рачунамо обим:
\( O = 14 + 6 + 2 \cdot 5 = 20 + 10 = 30 \)
Одговор: Обим је \( 30\text{ cm} \).
Тежак: Израчунај дужину дијагонале једнакокраког трапеза ако су његове основице \( a = 11\text{ cm} \) и \( b = 5\text{ cm} \), а дужина крака је \( c = 5\text{ cm} \).
1. корак: Прво морамо израчунати висину \( h \).
\( c^2 = h^2 + \left( \frac{a - b}{2} \right)^2 \)
\( 5^2 = h^2 + \left( \frac{11 - 5}{2} \right)^2 \)
\( 25 = h^2 + 3^2 \Rightarrow h^2 = 25 - 9 = 16 \Rightarrow h = 4\text{ cm} \)
2. корак: Рачунамо дијагоналу помоћу формуле: \( d^2 = h^2 + \left( \frac{a + b}{2} \right)^2 \)
\( d^2 = 4^2 + \left( \frac{11 + 5}{2} \right)^2 \)
\( d^2 = 16 + 8^2 = 16 + 64 = 80 \)
\( d = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5} \)
Одговор: Дужина дијагонале је \( 4\sqrt{5}\text{ cm} \).
\( c^2 = h^2 + \left( \frac{a - b}{2} \right)^2 \)
\( 5^2 = h^2 + \left( \frac{11 - 5}{2} \right)^2 \)
\( 25 = h^2 + 3^2 \Rightarrow h^2 = 25 - 9 = 16 \Rightarrow h = 4\text{ cm} \)
2. корак: Рачунамо дијагоналу помоћу формуле: \( d^2 = h^2 + \left( \frac{a + b}{2} \right)^2 \)
\( d^2 = 4^2 + \left( \frac{11 + 5}{2} \right)^2 \)
\( d^2 = 16 + 8^2 = 16 + 64 = 80 \)
\( d = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5} \)
Одговор: Дужина дијагонале је \( 4\sqrt{5}\text{ cm} \).
