Растави на чиниоце: а) \( 25a + 25b \); б) \( 3x - 45 \); в) \( 50 - 100c \); г) \( x^2 + 10x \); д) \( 5z - 7z^2 \); ђ) \( a^3b^4 + a^4b^3 \); е) \( 9x - 9xy - 9xz \); ж) \( 16a^3 - 4a^2b + 8ac \); з) \( 18t^2p - 9tp^2 + 54t^3p \).

Да бисмо раставили дате полиноме на чиниоце, користићемо методу издвајања заједничког чиниоца испред заграде, која се заснива на својству дистрибутивности множења према сабирању и одузимању. а) \( 25a + 25b \) Заједнички чинилац за оба сабирка је број \( 25 \). Издвајамо га испред заграде: \[ 25a + 25b = 25(a + b) \] б) \( 3x - 45 \) Број \( 45 \) можемо записати као производ \( 3 \cdot 15 \). Заједнички чинилац за ова два члана је број \( 3 \): \[ 3x - 45 = 3 \cdot x - 3 \cdot 15 = 3(x - 15)...

Растави на чиниоце: а) \( y^2 + 16y + 64 \); б) \( 4x^2 - 20x + 25 \); в) \( 0,16a^2 - 2,4ab + 9b^2 \); г) \( x^2 - 16 \); д) \( 49 - y^2 \); ђ) \( 9a^2 - 16b^2 \).

Да бисмо раставили дате полиноме на чиниоце, користићемо две основне формуле: формулу за квадрат бинома \( A^2 \pm 2AB + B^2 = (A \pm B)^2 \) и формулу за разлику квадрата \( A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \). а) \( y^2 + 16y + 64 \) Овај трином има три члана. Проверимо да ли је то квадрат бинома. Први члан је \( y^2 \), а трећи је \( 64 = 8^2 \). Средњи члан треба да буде двоструки први пута други: \( 2 \cdot y \cdot 8 = 16y \), што одговара задатом изразу. \[ y^2 + 16y + 64 = y^2 + 2 \cdot y \cdo...

Растави на чиниоце: а) \( 5ab + 5a + 2b + 2 \); б) \( x^2 - x + 3xy - 3y \); в) \( 4x + 4y - 5x^2 - 5xy \).

Да бисмо раставили дате полиноме на чиниоце, користићемо методу груписања чланова. Ова метода подразумева да чланове полинома групишемо тако да из сваке групе можемо издвојити заједнички чинилац, а затим из целог израза издвојимо заједничку заграду. а) \( 5ab + 5a + 2b + 2 \) Корак 1: Груписање чланова Груписаћемо прва два члана и последња два члана: \[ (5ab + 5a) + (2b + 2) \] Корак 2: Издвајање заједничког чиниоца из сваке групе Из прве заграде можемо издвојити \( 5a \), а из друге број \( 2...

Растави на чиниоце: а) \( 80 - 5a^2 \); б) \( 98x^3 - 18x \); в) \( 3a^2 + 12ab + 12b^2 \); г) \( 50b^2 - 8c^2 \); д) \( x^3 - 2x^2y + xy^2 \); ђ) \( 300b^2 - 48c^2 \); е) \( (a - b)^2 - 169 \); ж) \( 225 - (x - y)^2 \); з) \( 25(a - b)^2 - 121(c - d)^2 \).

Да бисмо раставили дате полиноме на чиниоце, користићемо методу издвајања заједничког чиниоца испред заграде, као и формуле за разлику квадрата \( A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \) и квадрат бинома \( A^2 \pm 2AB + B^2 = (A \pm B)^2 \). а) \( 80 - 5a^2 \) Прво издвајамо заједнички чинилац \( 5 \). Затим израз у загради растављамо као разлику квадрата: \[ 80 - 5a^2 = 5(16 - a^2) = 5(4^2 - a^2) = 5(4 - a)(4 + a) \] б) \( 98x^3 - 18x \) Најпре издвајамо заједнички чинилац \( 2x \), а затим примењујем...

Растави на чиниоце: а) \( 5x^3 - 5x + 3x^2 - 3 \); б) \( 2a^3 + 3a^2b - 3ab^2 - 2b^3 \); в) \( a^2 - 2ab + b^2 - c^2 \); г) \( 81 - x^2 - 2xy - y^2 \).

Полиноме растављамо на чиниоце комбиновањем груписања чланова, издвајања заједничког чиниоца, растављања средњег члана и примене формула за квадрат бинома и разлику квадрата. а) \( 5x^3 - 5x + 3x^2 - 3 \) Корак 1: Груписање чланова Полином има четири члана. Груписаћемо прва два и последња два члана: \[ (5x^3 - 5x) + (3x^2 - 3) \] Корак 2: Издвајање заједничког чиниоца Из прве заграде издвајамо \( 5x \), а из друге број \( 3 \): \[ 5x(x^2 - 1) + 3(x^2 - 1) \] Сада је заграда \( (x^2 - 1) \) заје...

Растављање Полинома На Чиниоце

Најважније из лекције

Растављање на чиниоце претвара збир/разлику у производ.
Редослед корака: Прво покушај да издвојиш заједнички чинилац испред заграде.
Ако имаш три члана, провери да ли је у питању квадрат бинома: \( A^2 \pm 2AB + B^2 = (A \pm B)^2 \).
Ако имаш два члана са минусом између, провери да ли је разлика квадрата: \( A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \).
Ако имаш четири члана, покушај са груписањем по два члана.

Раставити полином на чиниоце значи представити тај полином као производ два или више полинома.

Најосновнији начин растављања је примена својства дистрибутивности, односно издвајање заједничког чиниоца испред заграде.

\[ A \cdot B + A \cdot C = A \cdot (B + C) \] \[ A \cdot B - A \cdot C = A \cdot (B - C) \]

Пример издвајања заједничког чиниоца:
\( 6ab + 15b = 2 \cdot 3 \cdot a \cdot b + 3 \cdot 5 \cdot b = 3b(2a + 5) \)

Растави на чиниоце полином: \( 10ab - 5b \)

\( 10ab - 5b = 2 \cdot 5 \cdot a \cdot b - 5 \cdot b \cdot 1 = 5b(2a - 1) \)

Када полином има више чланова (често четири), можемо их груписати тако да из сваке групе издвојимо заједнички чинилац, а затим издвојимо заједничку заграду (бином) као нови чинилац.

Групиши по два сабирка (на пример, први са другим, трећи са четвртим).

Издвој заједнички чинилац из сваке групе посебно.

Издвој заједничку заграду испред нове заграде.

\( 3xy + 3x + 2y + 2 = (3xy + 3x) + (2y + 2) = 3x(y + 1) + 2(y + 1) = (y + 1)(3x + 2) \)

Растави на чиниоце: \( a^2 + 2ab - a - 2b \)

\( a^2 + 2ab - a - 2b = (a^2 + 2ab) + (-a - 2b) \)
\( = a(a + 2b) - 1(a + 2b) \)
\( = (a + 2b)(a - 1) \)

Квадратни трином (трином другог степена) се често може раставити препознавањем формуле за квадрат бинома.

\[ A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2 \] \[ A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2 \]

\( x^2 + 8x + 16 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x + 4)^2 \)

Растави на чиниоце: \( 25b^2 + 20b + 4 \)

\( 25b^2 + 20b + 4 = (5b)^2 + 2 \cdot 5b \cdot 2 + 2^2 = (5b + 2)^2 \)

Ако је полином облика разлике два квадрата, можемо га раставити на производ збира и разлике та два израза.

\[ A^2 - B^2 = (A + B)(A - B) \]

\( 9b^2 - 49 = (3b)^2 - 7^2 = (3b + 7)(3b - 7) \)

Растави на чиниоце: \( 121r^2 - 144p^2 \)

\( 121r^2 - 144p^2 = (11r)^2 - (12p)^2 = (11r + 12p)(11r - 12p) \)

Приликом растављања на чиниоце, увек прво провери да ли постоји заједнички чинилац који можеш издвојити испред заграде. Тек након тога у загради примени одговарајућу формулу (разлику квадрата или квадрат бинома).

Пример комбинације издвајања чиниоца и квадрата бинома:
\( 7x^2 + 14x + 7 = 7 \cdot (x^2 + 2x + 1) = 7 \cdot (x + 1)^2 \)

Растави на чиниоце: \( 18a^2 - 2b^2 \)

Најпре издвајамо заједнички чинилац 2, а затим примењујемо разлику квадрата:
\( 18a^2 - 2b^2 = 2 \cdot (9a^2 - b^2) = 2 \cdot ((3a)^2 - b^2) = 2(3a + b)(3a - b) \)

Задаци за вежбање

Лаки ниво: Растави на чиниоце полином издвајањем заједничког чиниоца: \( 8x^2 - 12x \)

Највећи заједнички делилац за 8 и 12 је 4, а за \(x^2\) и \(x\) је \(x\).
\( 8x^2 - 12x = 4x \cdot 2x - 4x \cdot 3 = 4x(2x - 3) \)

Средњи ниво: Растави на чиниоце користећи разлику квадрата: \( 25 - (x - y)^2 \)

Овде је \(A = 5\), а \(B = (x - y)\).
\( 25 - (x - y)^2 = 5^2 - (x - y)^2 = (5 + (x - y))(5 - (x - y)) = (5 + x - y)(5 - x + y) \)

Тешки ниво: Растави на чиниоце груписањем и применом формула: \( 4x^2 + 8xy + 4y^2 - 9 \)

Прво групишемо прва три члана и издвајамо заједнички чинилац како бисмо добили квадрат бинома, а затим примењујемо разлику квадрата.
\( (4x^2 + 8xy + 4y^2) - 9 \)
\( = 4(x^2 + 2xy + y^2) - 9 \)
\( = 4(x + y)^2 - 3^2 \)
\( = (2(x + y))^2 - 3^2 \)
\( = (2x + 2y - 3)(2x + 2y + 3) \)

III.15. Растављање Полинома На Чиниоце

Изабери решење задатка:

а)

б)

в)

г)

д)

ђ)

е)

ж)

з)

а) \( 25a + 25b \)

б) \( 3x - 45 \)

в) \( 50 - 100c \)

г) \( x^2 + 10x \)

д) \( 5z - 7z^2 \)

ђ) \( a^3b^4 + a^4b^3 \)

е) \( 9x - 9xy - 9xz \)

ж) \( 16a^3 - 4a^2b + 8ac \)

з) \( 18t^2p - 9tp^2 + 54t^3p \)

Кратак запис решења:

а)

б)

в)

г)

д)

ђ)

е)

ж)

з)

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Изабери решење задатка:

Кратко решење

а)

б)

в)

г)

д)

ђ)

е)

ж)

з)

Детаљно решење

а) \( 25a + 25b \)

б) \( 3x - 45 \)

в) \( 50 - 100c \)

г) \( x^2 + 10x \)

д) \( 5z - 7z^2 \)

ђ) \( a^3b^4 + a^4b^3 \)

е) \( 9x - 9xy - 9xz \)

ж) \( 16a^3 - 4a^2b + 8ac \)

з) \( 18t^2p - 9tp^2 + 54t^3p \)

Кратак запис решења:

а)

б)

в)

г)

д)

ђ)

е)

ж)

з)

Задаци за вежбање

Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова: