Најважније из лекције
- Растављање на чиниоце претвара збир/разлику у производ.
- Редослед корака: Прво покушај да издвојиш заједнички чинилац испред заграде.
- Ако имаш три члана, провери да ли је у питању квадрат бинома: \( A^2 \pm 2AB + B^2 = (A \pm B)^2 \).
- Ако имаш два члана са минусом између, провери да ли је разлика квадрата: \( A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \).
- Ако имаш четири члана, покушај са груписањем по два члана.
Раставити полином на чиниоце значи представити тај полином као производ два или више полинома.
Најосновнији начин растављања је примена својства дистрибутивности, односно издвајање заједничког чиниоца испред заграде.
\[ A \cdot B + A \cdot C = A \cdot (B + C) \]
\[ A \cdot B - A \cdot C = A \cdot (B - C) \]
Пример издвајања заједничког чиниоца:
\( 6ab + 15b = 2 \cdot 3 \cdot a \cdot b + 3 \cdot 5 \cdot b = 3b(2a + 5) \)
\( 6ab + 15b = 2 \cdot 3 \cdot a \cdot b + 3 \cdot 5 \cdot b = 3b(2a + 5) \)
Растави на чиниоце полином: \( 10ab - 5b \)
\( 10ab - 5b = 2 \cdot 5 \cdot a \cdot b - 5 \cdot b \cdot 1 = 5b(2a - 1) \)
Када полином има више чланова (често четири), можемо их груписати тако да из сваке групе издвојимо заједнички чинилац, а затим издвојимо заједничку заграду (бином) као нови чинилац.
Групиши по два сабирка (на пример, први са другим, трећи са четвртим).
Издвој заједнички чинилац из сваке групе посебно.
Издвој заједничку заграду испред нове заграде.
\( 3xy + 3x + 2y + 2 = (3xy + 3x) + (2y + 2) = 3x(y + 1) + 2(y + 1) = (y + 1)(3x + 2) \)
Растави на чиниоце: \( a^2 + 2ab - a - 2b \)
\( a^2 + 2ab - a - 2b = (a^2 + 2ab) + (-a - 2b) \)
\( = a(a + 2b) - 1(a + 2b) \)
\( = (a + 2b)(a - 1) \)
\( = a(a + 2b) - 1(a + 2b) \)
\( = (a + 2b)(a - 1) \)
Квадратни трином (трином другог степена) се често може раставити препознавањем формуле за квадрат бинома.
\[ A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2 \]
\[ A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2 \]
\( x^2 + 8x + 16 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x + 4)^2 \)
Растави на чиниоце: \( 25b^2 + 20b + 4 \)
\( 25b^2 + 20b + 4 = (5b)^2 + 2 \cdot 5b \cdot 2 + 2^2 = (5b + 2)^2 \)
Ако је полином облика разлике два квадрата, можемо га раставити на производ збира и разлике та два израза.
\[ A^2 - B^2 = (A + B)(A - B) \]
\( 9b^2 - 49 = (3b)^2 - 7^2 = (3b + 7)(3b - 7) \)
Растави на чиниоце: \( 121r^2 - 144p^2 \)
\( 121r^2 - 144p^2 = (11r)^2 - (12p)^2 = (11r + 12p)(11r - 12p) \)
Приликом растављања на чиниоце, увек прво провери да ли постоји заједнички чинилац који можеш издвојити испред заграде. Тек након тога у загради примени одговарајућу формулу (разлику квадрата или квадрат бинома).
Пример комбинације издвајања чиниоца и квадрата бинома:
\( 7x^2 + 14x + 7 = 7 \cdot (x^2 + 2x + 1) = 7 \cdot (x + 1)^2 \)
\( 7x^2 + 14x + 7 = 7 \cdot (x^2 + 2x + 1) = 7 \cdot (x + 1)^2 \)
Растави на чиниоце: \( 18a^2 - 2b^2 \)
Најпре издвајамо заједнички чинилац 2, а затим примењујемо разлику квадрата:
\( 18a^2 - 2b^2 = 2 \cdot (9a^2 - b^2) = 2 \cdot ((3a)^2 - b^2) = 2(3a + b)(3a - b) \)
\( 18a^2 - 2b^2 = 2 \cdot (9a^2 - b^2) = 2 \cdot ((3a)^2 - b^2) = 2(3a + b)(3a - b) \)
Задаци за вежбање
Лаки ниво: Растави на чиниоце полином издвајањем заједничког чиниоца: \( 8x^2 - 12x \)
Највећи заједнички делилац за 8 и 12 је 4, а за \(x^2\) и \(x\) је \(x\).
\( 8x^2 - 12x = 4x \cdot 2x - 4x \cdot 3 = 4x(2x - 3) \)
\( 8x^2 - 12x = 4x \cdot 2x - 4x \cdot 3 = 4x(2x - 3) \)
Средњи ниво: Растави на чиниоце користећи разлику квадрата: \( 25 - (x - y)^2 \)
Овде је \(A = 5\), а \(B = (x - y)\).
\( 25 - (x - y)^2 = 5^2 - (x - y)^2 = (5 + (x - y))(5 - (x - y)) = (5 + x - y)(5 - x + y) \)
\( 25 - (x - y)^2 = 5^2 - (x - y)^2 = (5 + (x - y))(5 - (x - y)) = (5 + x - y)(5 - x + y) \)
Тешки ниво: Растави на чиниоце груписањем и применом формула: \( 4x^2 + 8xy + 4y^2 - 9 \)
Прво групишемо прва три члана и издвајамо заједнички чинилац како бисмо добили квадрат бинома, а затим примењујемо разлику квадрата.
\( (4x^2 + 8xy + 4y^2) - 9 \)
\( = 4(x^2 + 2xy + y^2) - 9 \)
\( = 4(x + y)^2 - 3^2 \)
\( = (2(x + y))^2 - 3^2 \)
\( = (2x + 2y - 3)(2x + 2y + 3) \)
\( (4x^2 + 8xy + 4y^2) - 9 \)
\( = 4(x^2 + 2xy + y^2) - 9 \)
\( = 4(x + y)^2 - 3^2 \)
\( = (2(x + y))^2 - 3^2 \)
\( = (2x + 2y - 3)(2x + 2y + 3) \)
