Корице уџбеника

IV.1. Појам Многоугла

Решења + Понављање

Изабери решење задатка:

Задатак 4

Кратко решење

а) Четвороугао

Нацртај конвексан четвороугао састављен од шест једнакостраничних троуглова. Поређај их у један хоризонтални ред тако да се наизменично смењују троуглови окренути врхом нагоре (укупно 3) и врхом надоле (укупно 3). Добијена фигура је паралелограм чије су дуже странице дужине 3a, а краће дужине a. Једини конвексан четвороугао који се може формирати је паралелограм састављен од шест троуглова поређаних у једном реду: Странице: \( a_1 = 3a \), \( a_2 = a \) Унутрашњи углови: \( 60^\circ \) и \( 120^\circ \) (\( 60^\circ + 60^\circ \))

б) Шестоугао

Нацртај шест једнакостраничних троуглова који се спајају у једној централној тачки. Сваки троугао дели по једну страницу са два суседна троугла. Спољне странице ових троуглова чине ивице правилног шестоугла. Шест троуглова са заједничким теменом граде правилни шестоугао: Унутрашњи угао шестоугла: \( \alpha = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \) Све странице су једнаке дужини странице троугла: \( a_{šest} = a \)

Детаљно решење

Корак 1: Анализа захтева задатка

У задатку је потребно од шест подударних једнакостраничних троуглова формирати конвексне многоуглове (четвороугао и шестоугао). Једнакостранични троугао има све странице једнаке дужине \( a \) и све унутрашњи углове од \( 60^\circ \). Да би многоугао био конвексан, сви његови унутрашњи углови морају бити мањи од \( 180^\circ \).

Корак 2: Конструкција конвексног четвороугла

Да бисмо од шест троуглова добили четвороугао, морамо их груписати тако да се њихове странице поклапају, а да спољна граница има тачно четири темена.
Нацртај конвексан четвороугао састављен од шест једнакостраничних троуглова. Поређај их у један хоризонтални ред тако да се наизменично смењују троуглови окренути врхом нагоре (укупно 3) и врхом надоле (укупно 3). Добијена фигура је паралелограм чије су дуже странице дужине 3a, а краће дужине a. Једино решење за конвексан четвороугао јесте паралелограм. Ако поређамо шест једнакостраничних троуглова у један ред тако да се наизменично смењују они окренути врхом нагоре (укупно 3) и врхом надоле (укупно 3), добијамо паралелограм. Дуже странице овог паралелограма састоје се од по три странице троугла (дужина \( 3a \)), а краће странице од по једне странице троугла (дужина \( a \)). Сви унутрашњи углови су \( 60^\circ \) и \( 120^\circ \) (\( 60^\circ + 60^\circ \)), што значи да су мањи од \( 180^\circ \), па је фигура конвексна.

Корак 3: Конструкција конвексног шестоугла

За шестоугао користимо чињеницу да се правилни шестоугао састоји од тачно шест подударних једнакостраничних троуглова који имају заједничко теме у центру шестоугла.
Нацртај шест једнакостраничних троуглова који се спајају у једној централној тачки. Сваки троугао дели по једну страницу са два суседна троугла. Спољне странице ових троуглова чине ивице правилног шестоугла. Овај облик је конвексан јер је сваки унутрашњи угао збир два угла од \( 60^\circ \), што износи \( 120^\circ \), а то је мање од \( 180^\circ \).

Кратак запис решења:

а) Паралелограм: Ређамо свих шест троуглова наизменично у један ред, тако да добијемо паралелограм са страницама \( 3a \) и \( a \). Сви углови (\( 60^\circ \) и \( 120^\circ \)) су \( < 180^\circ \). б) Правилни шестоугао: Свих шест троуглова спајамо у једном централном темену. Унутрашњи углови су \( 120^\circ \), што је \( < 180^\circ \), па је фигура конвексна.

Најважније из лекције

  • Многоугао је фигура састављена од затворене изломљене линије без самопресека и њене унутрашње области.
  • Основни елементи многоугла су темена, странице и унутрашњи углови.
  • Елементи су суседни уколико деле заједничку компоненту (темена на истој страници, странице са истим теменом).
  • Многоугао је конвексан ако свака дуж која спаја било које две тачке многоугла лежи потпуно унутар њега. Подразумева се да радимо са конвексним многоугловима.
Многоугаона линија је затворена изломљена линија без тачака самопресека коју чине три или више дужи које припадају једној равни.
Свака многоугаона линија дели раван на две области: ограничену (унутрашња област) и неограничену (спољашња област).
Многоугао је геометријска фигура коју чине многоугаона линија и њена одговарајућа унутрашња област.
Према броју темена, многоугао (и многоугаона линија) може бити: троугао, четвороугао, петоугао, шестоугао...
Да ли изломљена линија која пресеца саму себе може да формира многоугао?
Одговор: Не. По дефиницији, многоугаона линија мора бити без тачака самопресека.
Основни елементи многоугла су темена, странице и унутрашњи углови.
Темена многоугла се обележавају великим словима латинице (нпр. \( A, B, C, D \)) или великим словима са индексом (нпр. \( A_1, A_2, A_3 \)). Многоугао се обележава редоследом својих темена: \( ABCD \) или \( A_1A_2A_3 \).
  • Суседна темена: Темена која припадају истој страници (истој дужи многоугаоне линије).
  • Суседне странице: Странице (дужи) које имају једно заједничко теме.
  • Суседни углови: Унутрашњи углови чија су темена суседна.
У петоуглу \( ABCDE \), која темена су суседна темену \( C \)?
Одговор: Суседна темена темену \( C \) су темена \( B \) и \( D \), јер са њима формира странице \( BC \) и \( CD \).
Многоугао је конвексан ако за сваке две тачке које припадају многоуглу важи да и цела дуж, чије су то крајње тачке, припада том многоуглу.
Уколико постоје бар две тачке у многоуглу такве да део дужи која их спаја излази ван многоугла, кажемо да је многоугао неконвексан.
Илустрација два многоугла: први је конвексан (дуж која спаја било које две унутрашње тачке лежи потпуно унутар фигуре), а други је неконвексан (дуж која спаја две специфичне унутрашње тачке делимично пролази кроз спољашњу област фигуре).
Ако се у задацима не нагласи другачије, под појмом "многоугао" увек се подразумева конвексан многоугао.

Задаци за вежбање

Лак: Шта чини геометријску фигуру коју називамо многоугао?
Одговор: Многоугао чине многоугаона линија и њена одговарајућа унутрашња област.
Средњи: Посматрaмо шестоугао \( A_1A_2A_3A_4A_5A_6 \). Наведи које су странице суседне страници \( A_3A_4 \).
Одговор: Суседне странице су оне које са странициом \( A_3A_4 \) имају заједничко теме. То су странице \( A_2A_3 \) (заједничко теме \( A_3 \)) и \( A_4A_5 \) (заједничко теме \( A_4 \)).
Тежак: Дата су два многоугла: четвороугао \( ABCD \) и троугао \( CDE \), који се налазе један поред другог тако да им је страница \( CD \) заједничка, а унутрашње области им се не преклапају. Који су заједнички основни елементи ове две фигуре?
Одговор: Заједнички основни елементи су темена \( C \) и \( D \), као и страница \( CD \). Унутрашњи углови нису заједнички јер припадају различитим унутрашњим областима.

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

20670 решења

888 лекција и тестова

Иконка Математика

Физика

4729 решења

1046 лекција и тестова

Иконка Физика

Хемија

4553 решења

644 лекција и тестова

Иконка Химия

Историја

1925 одговора на питања

299 резимеа и тестова

Иконка История

Биологија

1332 одговора | 176 лекција

Иконка Биология
5. разред
6. разред
8. разред

PhotoSolveAI

Решавање задатака са слике

Иконка Литература

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста
Сазнај више