Најважније из лекције
- Дијагонала спаја два темена која нису суседна.
- Број дијагонала из једног темена рачуна се по формули: \( d_n = n - 3 \).
- Укупан број дијагонала многоугла рачуна се по формули: \( D_n = \frac{n \cdot (n - 3)}{2} \).
- Троугао је једини многоугао који нема ниједну дијагоналу (\( n=3 \rightarrow d_n=0, D_n=0 \)).
Дијагонала многоугла је дуж чији су крајеви несуседна темена тог многоугла.
Троугао је једини многоугао који нема дијагонале јер су сва његова темена међусобно суседна.
Из сваког темена многоугла дијагонала се може повући ка свим осталим теменима, осим ка самом себи и ка двама суседним теменима. Због тога је број могућих крајњих тачака за три мањи од укупног броја темена.
Нека је \( n \) (\( n \in \mathbb{N}, n \ge 3 \)) број темена многоугла, а \( d_n \) број дијагонала из једног темена.
\[ d_n = n - 3 \]
Пример: Који многоугао има 10 дијагонала из једног темена?
Решавамо једначину: \( 10 = n - 3 \Rightarrow n = 13 \). Дакле, у питању је тринаестоугао.
Решавамо једначину: \( 10 = n - 3 \Rightarrow n = 13 \). Дакле, у питању је тринаестоугао.
Ако из сваког од \( n \) темена повучемо \( n - 3 \) дијагонала, добили бисмо производ \( n \cdot (n - 3) \). Међутим, пошто свака дијагонала спаја два темена (нпр. дијагонала од темена А до темена C је иста као и од C до А), сваку смо рачунали два пута. Зато тај производ делимо са 2.
Нека је \( n \) (\( n \in \mathbb{N}, n \ge 3 \)) број темена многоугла, а \( D_n \) укупан број дијагонала.
\[ D_n = \frac{n \cdot (n - 3)}{2} \]
Пример: Колико дијагонала има осмоугао?
\( D_8 = \frac{8 \cdot (8 - 3)}{2} = \frac{8 \cdot 5}{2} = \frac{40}{2} = 20 \). Осмоугао има 20 дијагонала.
\( D_8 = \frac{8 \cdot (8 - 3)}{2} = \frac{8 \cdot 5}{2} = \frac{40}{2} = 20 \). Осмоугао има 20 дијагонала.
Када решавате задатак где је познат укупан број дијагонала (\( D_n \)), а тражи се број темена (\( n \)), користите растављање на просте чиниоце како бисте добили производ два броја чија је разлика 3.
Понекад је потребно израчунати колико је укупно директних веза потребно да би се свака тачка повезала са сваком другом (нпр. умрежавање рачунара или руковање свих људи у просторији).
Тај проблем се своди на збир броја страница многоугла (\( n \)) и укупног броја његових дијагонала (\( D_n \)).
Број свих међусобних веза између \( n \) елемената:
\[ \frac{n \cdot (n - 3)}{2} + n = \frac{n \cdot (n - 1)}{2} \]
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај колико укупно дијагонала има десетоугао.
Користимо формулу за укупан број дијагонала: \( D_n = \frac{n \cdot (n - 3)}{2} \).
\( D_{10} = \frac{10 \cdot (10 - 3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = \frac{70}{2} = 35 \).
Одговор: Десетоугао има 35 дијагонала.
\( D_{10} = \frac{10 \cdot (10 - 3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = \frac{70}{2} = 35 \).
Одговор: Десетоугао има 35 дијагонала.
Средњи: Да ли постоји многоугао који има тачно 15 дијагонала? Образложи одговор.
Изједначавамо формулу са 15:
\( \frac{n \cdot (n - 3)}{2} = 15 \)
\( n \cdot (n - 3) = 30 \)
Тражимо два природна броја чија је разлика 3, а производ 30. Проверавамо: \( 5 \cdot 2 = 10 \), \( 6 \cdot 3 = 18 \), \( 7 \cdot 4 = 28 \), \( 8 \cdot 5 = 40 \).
Одговор: Пошто ниједан овакав производ није једнак 30, не постоји природан број \( n \) који испуњава услов. Такав многоугао не постоји.
\( \frac{n \cdot (n - 3)}{2} = 15 \)
\( n \cdot (n - 3) = 30 \)
Тражимо два природна броја чија је разлика 3, а производ 30. Проверавамо: \( 5 \cdot 2 = 10 \), \( 6 \cdot 3 = 18 \), \( 7 \cdot 4 = 28 \), \( 8 \cdot 5 = 40 \).
Одговор: Пошто ниједан овакав производ није једнак 30, не постоји природан број \( n \) који испуњава услов. Такав многоугао не постоји.
Тежак: Број дијагонала многоугла је седам пута већи од броја темена тог многоугла. Који је то многоугао?
Постављамо једначину према тексту задатка:
\( D_n = 7 \cdot n \)
\( \frac{n \cdot (n - 3)}{2} = 7n \)
Множимо целу једначину са 2:
\( n \cdot (n - 3) = 14n \)
Пошто је \( n \) природан број већи или једнак 3 (\( n \neq 0 \)), можемо обе стране поделити са \( n \):
\( n - 3 = 14 \)
\( n = 17 \)
Одговор: У питању је седамнаестоугао.
\( D_n = 7 \cdot n \)
\( \frac{n \cdot (n - 3)}{2} = 7n \)
Множимо целу једначину са 2:
\( n \cdot (n - 3) = 14n \)
Пошто је \( n \) природан број већи или једнак 3 (\( n \neq 0 \)), можемо обе стране поделити са \( n \):
\( n - 3 = 14 \)
\( n = 17 \)
Одговор: У питању је седамнаестоугао.
