IV.5. Примена Подударности На Троугао И Четвороугао

1. Нацртај произвољан паралелограм и обележи темена са \( A, B, C, D \) у смеру супротном од кретања казаљке на сату. 2. Нацртај дијагонале \( AC \) и \( BD \). 3. Обележи пресек дијагонала тачком \( S \). 4. Означи цртицама да је \( AS = SC \) и са две цртице да је \( BS = SD \).

Корак 1: Уочавање троуглова и постављање услова

Нека је четвороугао \( ABCD \) такав да се његове дијагонале \( AC \) и \( BD \) секу у тачки \( S \) и међусобно се полове. То значи да важи: \[ AS = SC \quad \text{и} \quad BS = SD \] Посматрајмо троуглове \( \Delta ABS \) и \( \Delta CDS \).

Корак 2: Доказивање подударности троуглова \( \Delta ABS \) и \( \Delta CDS \)

Уочавамо следеће једнакости елемената троуглова \( \Delta ABS \) и \( \Delta CDS \):

• \( AS = CS \) (дијагонала \( AC \) је преполовљена)
• \( \angle ASB = \angle CSD \) (унакрсни углови су међусобно једнаки)
• \( BS = DS \) (дијагонала \( BD \) је преполовљена)

На основу става о подударности троуглова СУС (страница–угао–страница), закључујемо: \[ \left. \begin{matrix} AS = CS \\ \angle ASB = \angle CSD \\ BS = DS \end{matrix} \right\} \xrightarrow{\text{СУС}} \Delta ABS \cong \Delta CDS \]

Корак 3: Извођење закључка о једнакости и паралелности страница \( AB \) и \( CD \)

Из подударности троуглова следи да су њихови одговарајући углови и странице једнаки: \[ AB = CD \quad \text{и} \quad \angle SAB = \angle SCD \] Углови \( \angle SAB \) (односно \( \angle CAB \)) и \( \angle SCD \) (односно \( \angle ACD \)) представљају углове са паралелним крацима на трансверзали \( AC \). Како су ови наизменични углови једнаки: \[ \angle CAB = \angle ACD \implies AB \parallel CD \]

Корак 4: Доказивање подударности за други пар наспрамних страница

Посматрајмо сада троуглове \( \Delta ASD \) и \( \Delta CSB \): \[ \left. \begin{matrix} AS = CS \\ \angle ASD = \angle CSB \quad (\text{унакрсни углови}) \\ DS = BS \end{matrix} \right\} \xrightarrow{\text{СУС}} \Delta ASD \cong \Delta CSB \] Из ове подударности следи: \[ AD = BC \quad \text{и} \quad \angle SAD = \angle SCB \] Будући да су наизменични углови на трансверзали \( AC \) једнаки (\( \angle DAC = \angle BCA \)), следи: \[ AD \parallel BC \]

Корак 5: Закључак

Како су наспрамне странице четвороугла међусобно паралелне (\( AB \parallel CD \) и \( AD \parallel BC \)), по дефиницији четвороугао \( ABCD \) је паралелограм.

\( S = AC \cap BD \), \( AS = SC \), \( BS = SD \) \( \Delta ABS \cong \Delta CDS \) (СУС: \( AS=CS \), \( \angle ASB=\angle CSD \), \( BS=DS \)) \( \implies AB = CD \land \angle CAB = \angle ACD \implies AB \parallel CD \) \( \Delta ASD \cong \Delta CSB \) (СУС) \( \implies AD = BC \land \angle CAD = \angle ACB \implies AD \parallel BC \) \( AB \parallel CD \land AD \parallel BC \implies ABCD \) је паралелограм.