Најважније из лекције
Ставови подударности: Да би два троугла била подударна, довољно је да испуњавају један од ставова: СУС, УСУ, ССС или ССУ.
Паралелограм: Ако су наспрамне странице четвороугла једнаке, онда је тај четвороугао паралелограм (и обрнуто).
Описана кружница: Постоји код правоугаоника и квадрата. Центар је у пресеку дијагонала, а полупречник је пола дијагонале (\( R = \frac{d}{2} \)).
Уписана кружница: Постоји код ромба и квадрата. Центар је у пресеку дијагонала, а полупречник је пола висине (\( r = \frac{h}{2} \)).
Паралелограм: Ако су наспрамне странице четвороугла једнаке, онда је тај четвороугао паралелограм (и обрнуто).
Описана кружница: Постоји код правоугаоника и квадрата. Центар је у пресеку дијагонала, а полупречник је пола дијагонале (\( R = \frac{d}{2} \)).
Уписана кружница: Постоји код ромба и квадрата. Центар је у пресеку дијагонала, а полупречник је пола висине (\( r = \frac{h}{2} \)).
Да бисмо доказали да су два троугла подударна (једнака у свему), користимо четири основна става.
- СУС (Страница - Угао - Страница): Два троугла су подударна ако су им једнаке две странице и угао захваћен тим страницама.
- УСУ (Угао - Страница - Угао): Два троугла су подударна ако су им једнаки једна страница и оба угла налегла на ту страницу.
- ССС (Страница - Страница - Страница): Два троугла су подударна ако су им све три странице једнаке.
- ССУ (Страница - Страница - Угао): Два троугла су подударна ако су им једнаке две странице и угао наспрам дуже од тих страница.
Ако за троуглове \( \Delta ABC \) и \( \Delta DEF \) важи да је \( AB = DE \), \( BC = EF \) и \( AC = DF \), на основу ког става су они подударни?
Одговор: На основу става ССС (пошто су им све три одговарајуће странице једнаке).
Четвороугао чије су наспрамне странице паралелне назива се паралелограм. Коришћењем ставова о подударности троуглова могу се доказати његове важне особине.
Наспрамне странице паралелограма су једнаке. Такође важи и обрнуто: Четвороугао чије су наспрамне странице једнаке јесте паралелограм.
Ако дијагонала подели паралелограм на два троугла, ти троуглови ће бити подударни на основу става УСУ (због наизменичних углова на трансверзали и заједничке странице). Из њихове подударности директно следи да су наспрамне странице једнаке дужине.
Ако за четвороугао \( PQRS \) важи да је \( PQ = 7 \text{ cm} \), \( RS = 7 \text{ cm} \), \( QR = 5 \text{ cm} \) и \( PS = 5 \text{ cm} \), да ли је он паралелограм?
Одговор: Да. Пошто су наспрамне странице једнаке (\( PQ = RS \) и \( QR = PS \)), тај четвороугао мора бити паралелограм.
Описана кружница многоугла је кружница којој припадају сва темена тог многоугла.
- Око сваког правоугаоника (и квадрата, јер је он врста правоугаоника) може се описати кружница.
- Центар описане кружнице правоугаоника је пресек његових дијагонала.
- Полупречник (\( R \)) описане кружнице је половина дужине дијагонале.
Дијагонала правоугаоника износи \( 12 \text{ cm} \). Колики је полупречник кружнице описане око тог правоугаоника?
Одговор: Полупречник \( R \) је једнак половини дијагонале. Дакле, \( R = 12 \text{ cm} : 2 = 6 \text{ cm} \).
Уписана кружница многоугла је кружница која додирује све странице тог многоугла (странице су јој тангенте).
- У сваки ромб (и квадрат, јер је он врста ромба) може се уписати кружница.
- Центар уписане кружнице ромба је пресек дијагонала (што је уједно и пресек симетрала унутрашњих углова).
- Полупречник (\( r \)) уписане кружнице је половина висине ромба (дуж од центра под правим углом на страницу).
Ако је висина ромба \( 8 \text{ cm} \), колики је полупречник уписане кружнице?
Одговор: Полупречник \( r \) је једнак половини висине ромба. Дакле, \( r = 8 \text{ cm} : 2 = 4 \text{ cm} \).
Тежишна дуж је дуж која спаја теме троугла са средиштем наспрамне странице.
Висина троугла је нормала спуштена из темена троугла на праву која садржи наспрамну страницу.
Ако су два троугла подударна, онда су и њихови одговарајући елементи једнаки. То значи да подударни троуглови имају једнаке одговарајуће тежишне дужи, као и једнаке одговарајуће висине. Ово се доказује применом ставова о подударности (најчешће СУС или УСУ) на мање троуглове који настају повлачењем висине или тежишне дужи.
Троуглови \( \Delta ABC \) и \( \Delta DEF \) су подударни. Ако је тежишна дуж из темена \( A \) дужине \( 6 \text{ cm} \), колика је дужина одговарајуће тежишне дужи из темена \( D \)?
Одговор: Дужина тежишне дужи из темена \( D \) је такође \( 6 \text{ cm} \), јер подударни троуглови имају једнаке одговарајуће елементе.
Задаци за вежбање
Лак: Дат је правоугаоник чије су странице \( a = 6 \text{ cm} \) и \( b = 8 \text{ cm} \). Израчунај полупречник кружнице описане око овог правоугаоника.
Прво морамо наћи дужину дијагонале \( d \) помоћу Питагорине теореме:
\[ d^2 = a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \]
\[ d = 10 \text{ cm} \]
Полупречник описане кружнице је половина дијагонале:
\[ R = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm} \]
Одговор: \( R = 5 \text{ cm} \).
Средњи: У квадрат је уписана кружница полупречника \( r = 4 \text{ cm} \). Колика је дужина странице тог квадрата, а колики је полупречник кружнице која је описана око истог квадрата?
Код квадрата (као и код ромба), полупречник уписане кружнице је половина висине. Код квадрата, висина је једнака страници квадрата (\( a \)).
\[ a = 2 \cdot r = 2 \cdot 4 \text{ cm} = 8 \text{ cm} \]
За описану кружницу потребна нам је дијагонала \( d \):
\[ d = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \text{ cm} \]
Полупречник описане кружнице \( R \) је половина дијагонале:
\[ R = \frac{d}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \text{ cm} \]
Одговор: Страница квадрата је \( 8 \text{ cm} \), а полупречник описане кружнице је \( 4\sqrt{2} \text{ cm} \).
Тежак: Нека су \( AD \) и \( BC \) две дужи које се секу у тачки \( S \), тако да их тачка \( S \) полови (\( AS = SD \) и \( BS = SC \)). Докажи да су дужи \( AB \) и \( CD \) паралелне и једнаке.
Посматрамо троуглове \( \Delta ASB \) и \( \Delta DSC \):
1. \( AS = SD \) (дато у задатку)
2. \( BS = SC \) (дато у задатку)
3. \( \angle ASB = \angle DSC \) (унакрсни углови)
На основу става СУС, следи да су троуглови подударни: \( \Delta ASB \cong \Delta DSC \). Из подударности следи да су одговарајуће странице једнаке: \( \mathbf{AB = CD} \). Такође, одговарајући углови су једнаки: \( \angle SAB = \angle SDC \). Пошто су ови углови наизменични углови на правој \( AD \) која сече праве \( AB \) и \( CD \), из њихове једнакости следи да су праве \( AB \) и \( CD \) паралелне.
На основу става СУС, следи да су троуглови подударни: \( \Delta ASB \cong \Delta DSC \). Из подударности следи да су одговарајуће странице једнаке: \( \mathbf{AB = CD} \). Такође, одговарајући углови су једнаки: \( \angle SAB = \angle SDC \). Пошто су ови углови наизменични углови на правој \( AD \) која сече праве \( AB \) и \( CD \), из њихове једнакости следи да су праве \( AB \) и \( CD \) паралелне.
