IV.5. Примена Подударности На Троугао И Четвороугао

Корак 1: Анализа датих података и својстава подударних троуглова

Према задатку, троуглови \( \Delta ABC \) и \( \Delta DEF \) су подударни (\( \Delta ABC \cong \Delta DEF \)). Из дефиниције подударности следи да су све одговарајуће странице и сви одговарајући углови ова два троугла једнаки. За наш доказ битно је да је: 1. \( AC = DF \) (одговарајуће странице) 2. \( \angle BAC = \angle EDF \) (одговарајући углови код темена \( A \) и \( D \))
Нацртај два подударна троугла ABC и DEF. У троуглу ABC повуци висину CG из темена C на страницу AB (тачка G лежи на AB и угао код G је 90 степени). У троуглу DEF повуци висину FH из темена F на страницу DE (тачка H лежи на DE и угао код H је 90 степени).

Корак 2: Уочавање правоуглих троуглова за доказ

Висине \( CG \) и \( FH \) су нормалне на странице \( AB \) и \( DE \). То значи да се формирају правоугли троуглови. Посматраћемо троуглове \( \Delta ACG \) и \( \Delta DFH \). У овим троуглова углови код темена \( G \) и \( H \) су прави: \[ \angle AGC = \angle DHF = 90^\circ \]

Корак 3: Доказивање подударности помоћу става УСУ или ССУ

Упоредимо елементе троуглова \( \Delta ACG \) и \( \Delta DFH \): 1. Хипотенузе су једнаке из подударности великих троуглова: \( AC = DF \). 2. Оштри углови код темена \( A \) и \( D \) су једнаки: \( \angle CAG = \angle FDH \) (што је исто што и \( \angle BAC = \angle EDF \)). 3. Углови код подножја висина су прави: \( \angle AGC = \angle DHF = 90^\circ \). Будући да су два угла једнака (\( \angle A = \angle D \) и \( \angle G = \angle H \)), мора бити једнак и трећи угао \( \angle ACG = \angle DFH \). На основу става **УСУ** (или модификованог става за правоугле троуглове): \[ \left. \begin{matrix} \angle CAG = \angle FDH \\ AC = DF \\ \angle ACG = \angle DFH \end{matrix} \right\} \Rightarrow \Delta ACG \cong \Delta DFH \]

Корак 4: Закључак о једнакости висина

Из доказане подударности мањих троуглова (\( \Delta ACG \cong \Delta DFH \)) следи да су и њихове остале одговарајуће странице једнаке. Страница \( CG \) првог троугла одговара страници \( FH \) другог троугла. Дакле: \[ CG = FH \] Овим је доказано да су одговарајуће висине у подударним троугловима једнаке.

\( \Delta ABC \cong \Delta DEF \Rightarrow AC = DF, \angle A = \angle D \). У \( \Delta ACG \) и \( \Delta DFH \): \( \angle G = \angle H = 90^\circ \) \( AC = DF \) \( \angle A = \angle D \) \( \Rightarrow \Delta ACG \cong \Delta DFH \) (УСУ или ССУ) \( \Rightarrow CG = FH \).