IV.5. Примена Подударности На Троугао И Четвороугао

Корак 1: Скицирање троуглова и висина

Нацртај два подударна троугла ABC и DEF. У троуглу ABC повуци висину CG из темена C на страницу AB (тачка G лежи на AB и угао код G је 90 степени). У троуглу DEF повуци висину FH из темена F на страницу DE (тачка H лежи на DE и угао код H је 90 степени).

Корак 2: Уочавање последица подударности полазних троуглова

Из услова да су троуглови \( \Delta ABC \) и \( \Delta DEF \) подударни, следи да су сви њихови одговарајући елементи (странице и унутрашњи углови) једнаки: \[ CA = FD \] \[ \angle CAB = \angle FDE \] Како тачка \( G \) припада страници \( AB \), а тачка \( H \) припада страници \( DE \), важи: \[ \angle CAG = \angle CAB \] \[ \angle FDH = \angle FDE \] Отуда закључујемо: \[ \angle CAG = \angle FDH \]

Корак 3: Својства висина и углова у правоуглим троугловима

Дуж \( CG \) је висина повучена из темена \( C \) на страницу \( AB \), што значи да је \( CG \perp AB \), па је: \[ \angle CGA = 90^\circ \] Дуж \( FH \) је висина повучена из темена \( F \) на страницу \( DE \), што значи да је \( FH \perp DE \), па је: \[ \angle FHD = 90^\circ \] Дакле: \[ \angle CGA = \angle FHD = 90^\circ \] У правоуглом троуглу збир оштрих углова износи \( 90^\circ \). Зато за треће углове у троугловима \( \Delta AGC \) и \( \Delta DHF \) важи: \[ \angle ACG = 90^\circ - \angle CAG \] \[ \angle DFH = 90^\circ - \angle FDH \] Будући да је \( \angle CAG = \angle FDH \), следи: \[ \angle ACG = \angle DFH \]

Корак 4: Доказивање подударности троуглова \( \Delta AGC \) и \( \Delta DHF \)

Посматрајмо троуглове \( \Delta AGC \) и \( \Delta DHF \). За њих важе следеће једнакости: \[ \angle CAG = \angle FDH \] \[ CA = FD \] \[ \angle ACG = \angle DFH \] На основу става о подударности УСУ (угао–страница–угао), следи: \[ \Delta AGC \cong \Delta DHF \]

Корак 5: Закључак о једнакости висина

Из подударности троуглова \( \Delta AGC \cong \Delta DHF \) следи да су све одговарајуће странице једнаке, одакле добијамо: \[ CG = FH \] чиме је тврђење доказано.

\( \Delta ABC \cong \Delta DEF \Rightarrow CA = FD, \angle CAG = \angle FDH \) \( CG \perp AB, FH \perp DE \Rightarrow \angle CGA = \angle FHD = 90^\circ \) \( \angle ACG = 90^\circ - \angle CAG = 90^\circ - \angle FDH = \angle DFH \) \( \left. \begin{matrix} \angle CAG = \angle FDH \\ CA = FD \\ \angle ACG = \angle DFH \end{matrix} \right\} \stackrel{УСУ}{\Rightarrow} \Delta AGC \cong \Delta DHF \Rightarrow CG = FH \)