Најважније из лекције
- Анализа је најважнији корак пре цртања: подразумева скицирање, уочавање правоуглих троуглова и својстава фигуре.
- Свака конструкција се своди на конструкцију троуглова коришћењем правила: ССС, СУС, УСУ или ССУ.
- Ако је дата висина, користимо особине правоуглог троугла и угао од \( 90^\circ \).
- Ако је дата тежишна дуж, користимо особину да она полови наспрамну страницу.
- Код четвороуглова се ослањамо на њихова специфична својства: симетрију (делтоид, паралелограм), паралелност страница (трапез) и везу висине и уписане кружнице (ромб).
Решавање сваког сложенијег конструктивног задатка састоји се од неколико логичких целина. Најважнији корак који претходи самом цртању јесте анализа.
Анализа: Претпоставља се да је фигура већ конструисана. Црта се скица слободном руком и на њој се обележавају дати елементи. Траже се везе између познатих и непознатих елемената (нпр. уочавају се правоугли троуглови, симетрија, паралелност) како би се проблем свео на познате основне конструкције.
Конструкција: Извођење цртања помоћу шестара и лењира на основу закључака из анализе. Прво се конструишу дати елементи (дужи, углови), а затим се помоћним конструкцијама долази до коначне фигуре.
Дискусија: Разматрање броја могућих решења задатка. Зависно од датих мера, задатак може имати једно, ниједно или више решења (нпр. ако је збир две странице мањи од треће, троугао није могуће конструисати).
Сложеније геометријске фигуре се приликом конструкције најчешће деле на мање троуглове. Зато је неопходно познавати четири основна правила (става) за конструкцију троуглова.
ССС (Страница - Страница - Страница): Конструкција троугла када су дате дужине све три његове странице.
УСУ (Угао - Страница - Угао): Конструкција троугла када су дати једна страница и два наљегла угла на тој страници.
СУС (Страница - Угао - Страница): Конструкција троугла када су дате две странице и угао који оне захватају.
ССУ (Страница - Страница - Угао): Конструкција троугла када су дате две странице и угао наспрам веће од њих.
Када у задатку нису директно дате странице и углови, већ други елементи (висине, тежишне дужи, полупречници), користимо њихова својства:
- Тежишна дуж (\( t \)): Спаја теме са средиштем наспрамне странице. Ако је дата тежишна дуж, то значи да страницу на коју она пада делимо на два једнака дела.
- Висина (\( h \)): Спушта се под правим углом (\( 90^\circ \)) на наспрамну страницу. Ово омогућава конструисање помоћног правоуглог троугла. Збир оштрих углова у том правоуглом троуглу је \( 90^\circ \).
- Правоугли троугао и хипотенуза: Ако је дата хипотенуза правоуглог троугла, теме правог угла увек лежи на кружници чији је пречник та хипотенуза (Талесова кружница).
Четвороуглови се конструишу тако што се дијагоналама или висинама поделе на троуглове који се могу конструисати основним правилима, користећи специфична својства сваког четвороугла.
Паралелограм: Централносиметрична је фигура у односу на пресек својих дијагонала. Ако се конструише један део фигуре (нпр. троугао који чине две странице и дијагонала), остала темена се могу добити централном симетријом.
Ромб: Висина ромба (\( h \)) је увек једнака двоструком полупречнику уписане кружнице (\( h = 2r \)). Све странице су му једнаке.
Трапез: Има један пар паралелних страница (основице). Висина представља нормално растојање између правих на којима леже те паралелне странице.
Делтоид: Делтоид је осно-симетрична фигура у односу на дијагоналу која спаја темена између неједнаких страница. Када се конструише једна половина делтоида (троугао), друго теме се добија пресликавањем осном симетријом у односу на ту дијагоналу.
Задаци за вежбање
Лак:
Које основно правило (став) се користи за конструкцију троуглова ако су нам познате дужине све три странице троугла: \( a = 5 \text{ cm} \), \( b = 6 \text{ cm} \) и \( c = 7 \text{ cm} \)?
Користи се правило ССС (Страница - Страница - Страница).
Средњи:
Потребно је конструисати ромб ако је позната његова страница \( a = 4 \text{ cm} \) и полупречник уписане кружнице \( r = 1,5 \text{ cm} \). Колика је висина \( h \) тог ромба која је потребна за конструкцију правоуглог троугла у оквиру анализе?
Висина ромба једнака је пречнику (двоструком полупречнику) уписане кружнице.
\( h = 2 \cdot r = 2 \cdot 1,5 \text{ cm} = 3 \text{ cm} \).
\( h = 2 \cdot r = 2 \cdot 1,5 \text{ cm} = 3 \text{ cm} \).
Тежак:
У анализи за конструкцију делтоида \( ABCD \), конструисан је помоћни троугао \( ABC \) помоћу датих страница \( AB \) и \( BC \) и угла \( \angle ABC \). Како ћеш, користећи особине делтоида, геометријски одредити положај четвртог темена \( D \)?
Делтоид је осно-симетрична фигура у односу на дијагоналу \( AC \). Положај темена \( D \) добија се тако што се теме \( B \) преслика осном симетријом у односу на праву која садржи дијагоналу \( AC \).
