IV.6. Конструкције Троуглова И Четвороуглова

Анализа

Претпоставимо да је конструисан правоугли трапез \( ABCD \) чији су прави углови код темена \( A \) и \( D \). Тада је краћи крак \( DA \) истовремено и висина трапеза, односно важи \( DA \perp AB \) и \( DA \perp CD \). Троугао \( DAC \) је правоугли троугао са правим углом код темена \( D \). У њему су познате катета \( DA = 2\text{ cm} \) и хипотенуза \( AC = 3\text{ cm} \). Стога га можемо конструисати на основу става ССУ (хипотенуза, катета и прави угао наспрам хипотенузе). Како је \( AB \perp DA \), теме \( B \) лежи на полуправој која полази из \( A \), нормална је на \( DA \) и налази се са исте стране праве \( DA \) као и теме \( C \), на растојању \( AB = 4\text{ cm} \).
Скица правоуглог трапеза ABCD са правим угловима код А и D. Основица AB је на хоризонталној правој. Теме D је вертикално изнад А. Теме C је десно од D на правој паралелној са AB. Означене дужи: AB=4cm, AC=3cm, DA=2cm.

План конструкције

1. Конструисати прав угао са теменом у тачки \( D \). 2. На једном краку угла одредити тачку \( A \) тако да је \( DA = 2\text{ cm} \). 3. Из тачке \( A \) конструисати кружни лук полупречника \( r = 3\text{ cm} \) који сече други крак правог угла у тачки \( C \). 4. У тачки \( A \) конструисати полуправу нормалну на \( DA \) са исте стране на којој је тачка \( C \). 5. На тој полуправој одредити тачку \( B \) тако да је \( AB = 4\text{ cm} \). 6. Спојити тачке \( B \) и \( C \) да се добије дуж \( BC \).

Конструкција

1. Конструишемо две узајамно нормалне праве које се секу у тачки \( D \). 2. Шестаром одмеримо \( 2\text{ cm} \) и на једној од правих означимо тачку \( A \), тако да је \( DA = 2\text{ cm} \). 3. Из темена \( A \) опишемо кружни лук полупречника \( 3\text{ cm} \) који сече другу праву (нормалну на \( DA \) у тачки \( D \)). Тај пресек означавамо са \( C \). Добили смо краћу основицу \( CD \) и дијагоналу \( AC \). 4. У тачки \( A \) конструишемо полуправу \( Ap \) паралелну са \( DC \) (нормалну на \( DA \)) усмерену на исту страну према којој је тачка \( C \). 5. На полуправој \( Ap \) шестаром нанесемо дужину \( AB = 4\text{ cm} \) и означимо тачку \( B \). 6. Конструишемо дуж \( BC \). Четвороугао \( ABCD \) је тражени правоугли трапез.

Доказ

По конструкцији: - Страница \( DA = 2\text{ cm} \). - Углови \( \angle DAB = 90^\circ \) и \( \angle CDA = 90^\circ \), што значи да је \( AB \parallel CD \), па је четвороугао \( ABCD \) правоугли трапез. - Дијагонала \( AC = 3\text{ cm} \) као полупречник лука из тачке \( A \). - Основица \( AB = 4\text{ cm} \). Сви услови задатка су испуњени.

Дискусија

Пошто је дата дијагонала \( AC = 3\text{ cm} \) дужа од крака \( DA = 2\text{ cm} \) (\( AC > DA \)), кружни лук полупречника \( AC \) увек сече полуправу повучену из \( D \) нормално на \( DA \) у тачно једној тачки (за фиксирану полураван). Због тога задатак има јединствено решење у датој полуравни.

\( \angle D = 90^\circ \), \( DA = 2\text{ cm} \) \( k(A, 3\text{ cm}) \cap CD = \{C\} \) \( AB \perp DA \), \( AB = 4\text{ cm} \) Спајањем \( B \) и \( C \) добија се трапез \( ABCD \).