Најважније из лекције
- Карактеристични троугао: Једнакокраки троугао где је основица \( a \) (страница), краци \( R \) (описана кружница), висина \( r \) (уписана кружница).
- Ако је дато \( a \): Користи се УСУ конструкција карактеристичног троугла. Угао на основици је \( \frac{1}{2}\alpha_n \) (где је \( \alpha_n \) унутрашњи угао).
- Ако је дато \( R \): Користи се СУС конструкција. Централни угао је \( \varphi_n = \frac{360^\circ}{n} \).
- Завршетак конструкције: Опише се кружница полупречника \( R \) и страница \( a \) се шестаром редом наноси по кружници.
Сваки правилни многоугао са \( n \) темена може се разложити на \( n \) подударних карактеристичних троуглова.
Карактеристични троугао је једнакокраки троугао чија је геометрија уско повезана са елементима многоугла.
- Основица троугла једнака је страници многоугла \( a \).
- Краци троугла једнаки су полупречнику описане кружнице \( R \).
- Висина која одговара основици једнака је полупречнику уписане кружнице \( r \).
- Врх троугла насупрот основици налази се у центру многоугла (тачка \( O \)).
Ако је позната само страница \( a \), карактеристични троугао се конструише применом УСУ (угао-страница-угао) конструкције. За то је потребно израчунати угао на основици карактеристичног троугла.
Формула за унутрашњи угао правилног многоугла са \( n \) темена:
\[ \alpha_n = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} \]
Угао на основици карактеристичног троугла износи тачно половину унутрашњег угла: \( \frac{1}{2}\alpha_n \).
Посебан случај (правилни шестоугао): За шестоугао важи \( a = R \), па је карактеристични троугао једнакостраничан. Конструише се лако помоћу ССС конструкције (све три странице су једнаке \( a \)).
Колики је угао на основици карактеристичног троугла правилног осмоугла (\( n=8 \))?
Прво рачунамо унутрашњи угао осмоугла: \( \alpha_8 = \frac{(8-2) \cdot 180^\circ}{8} = \frac{6 \cdot 180^\circ}{8} = 135^\circ \).
Угао на основици је половина тог угла: \( \frac{135^\circ}{2} = 67^\circ 30' \).
Угао на основици је половина тог угла: \( \frac{135^\circ}{2} = 67^\circ 30' \).
Ако је познат полупречник описане кружнице \( R \), користи се СУС (страница-угао-страница) конструкција. Познати су нам краци (\( R \)) и централни угао који они захватају.
Формула за централни угао правилног многоугла са \( n \) темена:
\[ \varphi_n = \frac{360^\circ}{n} \]
За правилни дванаестоугао (\( n=12 \)), централни угао је \( \varphi_{12} = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ \). Карактеристични троугао се конструише тако што се нацртају два крака дужине \( R \) који заклапају угао од \( 30^\circ \).
Ако је дат полупречник уписане кружнице \( r \), он представља висину карактеристичног троугла.
Рачуна се половина централног угла: \( \frac{1}{2}\varphi_n = \frac{180^\circ}{n} \).
Конструише се правоугли троугао чија је једна катета \( r \), а налеглом углу одговара израчунати угао \( \frac{1}{2}\varphi_n \) (користи се УСУ конструкција са угловима од \( 90^\circ \) и \( \frac{1}{2}\varphi_n \)).
Добијени правоугли троугао се преслика централном симетријом у односу на подножје висине како би се добио цео карактеристични троугао.
Након што је конструисан карактеристични троугао (и тиме одређени центар \( O \) и дужина странице \( a \)), многоугао се конструише следећим корацима:
Из центра \( O \) описује се кружница полупречником \( R \) (крак карактеристичног троугла).
Једно теме карактеристичног троугла на кружници се узима за почетно теме (\( A_1 \)).
Отвор шестара се подеси на дужину странице \( a \) (основица троугла) и та дужина се редом наноси по кружници како би се добила остала темена.
Добијена темена се редом спајају дужима.
Пажња: Није могуће конструисати сваки правилан многоугао користећи само лењир и шестар. На пример, правилан деветоугао се не може конструисати јер је немогуће конструисати централни угао од \( 40^\circ \).
Задаци за вежбање
Лак: Дат је правилан шестоугао. Колики је његов централни угао, а колики унутрашњи угао?
Централни угао: \( \varphi_6 = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ \).
Унутрашњи угао: \( \alpha_6 = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ \).
Унутрашњи угао: \( \alpha_6 = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ \).
Средњи: Потребно је конструисати правилан многоугао ако је дат полупречник описане кружнице \( R = 4 \text{ cm} \) и познато је да централни угао износи \( 90^\circ \). О ком многоуглу је реч и коју конструкцију троугла ћете применити за његов карактеристични троугао?
Из формуле за централни угао \( \varphi_n = \frac{360^\circ}{n} \) добијамо \( 90^\circ = \frac{360^\circ}{n} \implies n = 4 \). Реч је о правилном четвороуглу (квадрату).
За конструкцију карактеристичног троугла користи се СУС конструкција, јер су познате две странице (\( R=4 \text{ cm}, R=4 \text{ cm} \)) и угао између њих (\( 90^\circ \)).
За конструкцију карактеристичног троугла користи се СУС конструкција, јер су познате две странице (\( R=4 \text{ cm}, R=4 \text{ cm} \)) и угао између њих (\( 90^\circ \)).
Тежак: Ученик је конструисао карактеристични троугао једног правилног многоугла. Познато је да је основица троугла \( a = 3 \text{ cm} \), а угао који та основица заклапа са краком износи \( 75^\circ \). Колико темена има тај правилан многоугао?
Угао између основице и крака у карактеристичном троуглу једнак је половини унутрашњег угла многоугла: \( \frac{1}{2}\alpha_n = 75^\circ \).
Одавде следи да је цео унутрашњи угао \( \alpha_n = 150^\circ \).
Користимо формулу за унутрашњи угао: \( \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} = 150^\circ \)
\( (n-2) \cdot 180 = 150n \)
\( 180n - 360 = 150n \)
\( 30n = 360 \implies n = 12 \)
Реч је о правилном дванаестоуглу (многоугао има 12 темена).
Одавде следи да је цео унутрашњи угао \( \alpha_n = 150^\circ \).
Користимо формулу за унутрашњи угао: \( \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} = 150^\circ \)
\( (n-2) \cdot 180 = 150n \)
\( 180n - 360 = 150n \)
\( 30n = 360 \implies n = 12 \)
Реч је о правилном дванаестоуглу (многоугао има 12 темена).
