IV.8. Конструкције Неких Правилних Многоуглова

Корак 1: Анализа конструкције и положаја тачака

Нацртај кружницу са центром \( O \). Повуци хоризонтални пречник \( AB \). Из тачке \( A \) опиши лук полупречника једнаког \( OA \) који сече кружницу у \( C \) (горе) и \( D \) (доле). Из тачке \( B \) опиши исти такав лук који сече кружницу у \( E \) (горе) и \( F \) (доле). Кружница \( k \) има центар \( O \) и полупречник \( R = 2\text{ cm} \). Дуж \( AB \) је пречник кружнице, па тачке \( A, O \) и \( B \) леже на истој правој и важи: \[ \angle AOB = 180^\circ \] Тачке \( C \) и \( D \) се налазе у пресеку кружнице \( k(O, 2\text{ cm}) \) и кружног лука са центром у \( A \) и полупречником \( 2\text{ cm} \). Због тога је: \[ OA = OC = AC = 2\text{ cm} \] \[ OA = OD = AD = 2\text{ cm} \] Дакле, троуглови \( \triangle AOC \) и \( \triangle AOD \) су једнакостранични, одакле следи: \[ \angle AOC = 60^\circ \quad \text{и} \quad \angle AOD = 60^\circ \] Слично, тачке \( E \) и \( F \) се налазе у пресеку кружнице \( k \) и кружног лука са центром у \( B \) и полупречником \( 2\text{ cm} \). Троуглови \( \triangle BOE \) и \( \triangle BOF \) су такође једнакостранични: \[ \angle BOE = 60^\circ \quad \text{и} \quad \angle BOF = 60^\circ \]

Корак 2: Одређивање централних углова између суседних тачака

Како су \( A, O \) и \( B \) колинеарне, одредимо угао између полуправих \( OC \) и \( OE \): \[ \angle COE = 180^\circ - \angle AOC - \angle BOE = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ \] Исто тако, на доњем полукругу важи: \[ \angle DOF = 180^\circ - \angle AOD - \angle BOF = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ \] Редослед тачака дуж кружнице у смеру казаљке на сату је: \[ A, C, E, B, F, D \] Централни углови између свих суседних тачака су једнаки: \[ \angle AOC = \angle COE = \angle EOB = \angle BOF = \angle FOD = \angle DOA = 60^\circ \] Свих \( 6 \) лукова између суседних тачака на кружници су једнаки, што значи да ових \( 6 \) тачака деле кружницу на шест једнаких делова.

Корак 3: Одређивање правилних многоуглова

1. Правилан шестоугао: Свих шест тачака \( A, C, E, B, F, D \) деле кружницу на шест једнаких лукова од по \( 60^\circ \). Спајањем ових тачака редом добија се правилан шестоугао \( ACEBFD \). 2. Једнакостранични троуглови (правилни троуглови): Ако изаберемо сваку другу тачку на кружници, централни углови између њих биће: \[ 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \] Пошто кружницу делимо на три једнака дела од по \( 120^\circ \), те тачке чине темена једнакостраничног троугла: - Тачке \( A, E, F \) одређују један једнакостранични троугао \( \triangle AEF \). - Тачке \( B, C, D \) одређују други једнакостранични троугао \( \triangle BCD \). Дакле, ове тачке одређују правилан шестоугао и једнакостраничне троуглове.

\( OA=OC=AC=OD=AD=OB=OE=BE=OF=BF=2\text{ cm} \) \( \angle AOC = \angle COE = \angle EOB = \angle BOF = \angle FOD = \angle DOA = 60^\circ \) Тачке одређују: - правилан шестоугао \( ACEBFD \) (свих шест тачака) - једнакостраничне троуглове \( AEF \) и \( BCD \) (по три тачке)