IV.8. Конструкције Неких Правилних Многоуглова

Корак 1: Анализа положаја тачака на кружници

Катарина је конструисала кружницу \( k(O, R = 2\text{ cm}) \). Тачке \( A \) и \( B \) су крајеви пречника, што значи да су \( O, A \) и \( B \) на истој правој и да је \( OA = OB = R = 2\text{ cm} \). Затим је конструисала лукове са центрима у \( A \) и \( B \), полупречника \( r = 2\text{ cm} \). Како је \( R = r = 2\text{ cm} \), тачке \( C, D, E \) и \( F \) леже на кружници \( k \) тако да је њихово растојање од центара (\( A \) или \( B \)) једнако полупречнику кружнице.
Нацртај кружницу са центром \( O \). Повуци хоризонтални пречник \( AB \). Из тачке \( A \) опиши лук полупречника једнаког \( OA \) који сече кружницу у \( C \) (горе) и \( D \) (доле). Из тачке \( B \) опиши исти такав лук који сече кружницу у \( E \) (горе) и \( F \) (доле).

Корак 2: Својства карактеристичних троуглова

Посматрајмо троугао \( OAC \). Све његове странице су једнаке полупречнику кружнице: \( OA = OC = AC = 2\text{ cm} \). Дакле, \( \triangle OAC \) је једнакостраничан, па је централни угао \( \angle AOC = 60^\circ \). Иста логика важи за све остале тачке: - \( \triangle OAD \) је једнакостраничан, па је \( \angle AOD = 60^\circ \) - \( \triangle OBE \) је једнакостраничан, па је \( \angle BOE = 60^\circ \) - \( \triangle OBF \) је једнакостраничан, па је \( \angle BOF = 60^\circ \)

Корак 3: Одређивање угаоних растојања између свих тачака

Збир углова око центра \( O \) је \( 360^\circ \). Како су \( A, O, B \) колинеарне, угао \( \angle AOB = 180^\circ \). Углови између суседних тачака на кружници са једне стране пречника су: - \( \angle AOC = 60^\circ \) - \( \angle COE = 180^\circ - (\angle AOC + \angle BOE) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \) - \( \angle EOB = 60^\circ \) Аналогно важи и за доњи део кружнице (\( \angle AOD = 60^\circ, \angle DOF = 60^\circ, \angle FOB = 60^\circ \)). Редослед тачака на кружници је \( A, C, E, B, F, D \). Свих шест централних углова између суседних тачака износе по \( 60^\circ \).

Корак 4: Идентификација правилних многоуглова

На основу израчунатих углова можемо утврдити следеће правилне многоуглове: 1. Правилни шестоугао: Пошто су централни углови између свих шест суседних тачака једнаки (\( 60^\circ \)) и све тачке леже на истој кружници, скуп тачака \( A, C, E, B, F \) и \( D \) чини темена правилног шестоугла. 2. Једнакостранични троугао: Спајањем сваке друге тачке на кружници добијамо централне углове од \( 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \), што одговара карактеристичним угловима правилног троугла. Тако уочавамо два једнакостранична троугла: први чине темена \( A, E \) и \( F \), а други темена \( B, C \) и \( D \).

\( OA=OB=OC=OD=OE=OF=AC=AD=BE=BF=2\text{ cm} \) \( \triangle OAC, \triangle OAD, \triangle OBE, \triangle OBF \) су једнакостранични \( \Rightarrow \) углови су \( 60^\circ \). \( \angle AOC = \angle COE = \angle EOB = \angle BOF = \angle FOD = \angle DOA = 60^\circ \) 1. Правилни шестоугао: темена \( A, C, E, B, F, D \) 2. Два једнакостранична троугла: темена \( \{A, E, F\} \) и темена \( \{B, C, D\} \)