Најважније из лекције
Кључни појмови о ротацији:
\( \rightarrow \) Смер: Позитиван (супротно од казаљке на сату) и негативан (смер казаљке на сату).
\( \rightarrow \) Пресликавање: Тачка се слика у нову тачку под условом да је растојање од центра исто (\( OA = OA_1 \)) и да гради задати угао (\( \angle AOA_1 = \alpha \)). Центар се слика у самог себе.
\( \rightarrow \) Изометрија: Ротацијом се не мењају дужине и облици фигура (дужи се сликају у једнаке дужи, троуглови у подударне троуглове).
\( \rightarrow \) Специјалан случај: Ротација за \( 180^\circ \) је исто што и централна симетрија.
\( \rightarrow \) Смер: Позитиван (супротно од казаљке на сату) и негативан (смер казаљке на сату).
\( \rightarrow \) Пресликавање: Тачка се слика у нову тачку под условом да је растојање од центра исто (\( OA = OA_1 \)) и да гради задати угао (\( \angle AOA_1 = \alpha \)). Центар се слика у самог себе.
\( \rightarrow \) Изометрија: Ротацијом се не мењају дужине и облици фигура (дужи се сликају у једнаке дужи, троуглови у подударне троуглове).
\( \rightarrow \) Специјалан случај: Ротација за \( 180^\circ \) је исто што и централна симетрија.
Оријентација угла зависи од редоследа навођења његових кракова приликом обележавања тог угла.
Позитиван смер: Смер супротан од кретања казаљке на часовнику. Ако се краци угла наводе у овом смеру, угао је позитивно оријентисан.
Негативан смер: Смер кретања казаљке на часовнику. Ако се краци угла наводе у овом смеру, угао је негативно оријентисан.
Ако окрећемо волан аутомобила удесно, у ком смеру вршимо ротацију?
Вршимо ротацију у негативном смеру, јер је то смер кретања казаљке на часовнику.
Ротација с центром \( O \) за угао \( \alpha \) у задатом смеру (позитивном или негативном) је пресликавање којим се свака тачка \( A \) (\( A \neq O \)) пресликава у тачку \( A_1 \) тако да важе следећа два услова:
Растојање од центра остаје исто: \( OA = OA_1 \).
Угао \( \angle AOA_1 \) је оријентисан у задатом смеру и има меру \( \alpha \).
Тачка \( O \) се назива центар ротације и она се при ротацији пресликава сама у себе.
Ротација с центром \( O \) за угао од \( 180^\circ \) (било у позитивном или негативном смеру) јесте централна симетрија са центром \( O \).
Да би се конструисала слика неке фигуре при ротацији, довољно је пресликати њене карактеристичне тачке:
- За дуж пресликавамо њене крајње тачке.
- За угао пресликавамо теме и по једну тачку на сваком краку.
- За многоугао (нпр. троугао) пресликавамо његова темена.
- За кружницу пресликавамо њен центар и једну тачку са кружнице.
Ротација чува растојање између тачака, што значи да је ротација изометрија.
Ако се дуж \( AB \) ротацијом пресликава у дуж \( A_1B_1 \), тада је \( AB = A_1B_1 \).
Ако се троугао \( ABC \) ротацијом пресликава у троугао \( A_1B_1C_1 \), тада су они подударни: \( \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 \).
Ако се троугао \( ABC \) ротацијом пресликава у троугао \( A_1B_1C_1 \), тада су они подударни: \( \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 \).
Задаци за вежбање
Лаки: Дат је троугао \( ABC \). Приликом ротације овог троугла око тачке \( O \) за угао од \( 45^\circ \) добијен је троугао \( A_1B_1C_1 \). Ако је дужина странице \( AB = 5\text{ cm} \), колика је дужина странице \( A_1B_1 \)?
Пошто је ротација изометрија, она чува дужине дужи. Због тога је \( A_1B_1 = AB \).
Одговор: Дужина странице \( A_1B_1 \) је \( 5\text{ cm} \).
Одговор: Дужина странице \( A_1B_1 \) је \( 5\text{ cm} \).
Средњи: Тачка \( P \) се ротира око тачке \( S \) за угао од \( 180^\circ \) и добија се тачка \( P_1 \). Какав је међусобни положај тачака \( P \), \( S \) и \( P_1 \) и какав је однос дужи \( PS \) и \( SP_1 \)?
Ротација за \( 180^\circ \) представља централну симетрију. То значи да су тачке \( P \), \( S \) и \( P_1 \) колинеарне (припадају истој правој), а тачка \( S \) је средиште дужи \( PP_1 \).
Одговор: Тачке су колинеарне, а дужи су једнаке (\( PS = SP_1 \)).
Одговор: Тачке су колинеарне, а дужи су једнаке (\( PS = SP_1 \)).
Тешки: Тачка \( M \) (\( M \neq O \)) ротира се око тачке \( O \) за угао од \( 60^\circ \) у позитивном смеру и тако се пресликава у тачку \( M_1 \). Какав је троугао \( \triangle MOM_1 \) према дужинама страница?
По дефиницији ротације, растојање од центра се не мења, па је \( OM = OM_1 \). То значи да је троугао \( \triangle MOM_1 \) једнакокрак.
Угао између тих кракова је угао ротације, дакле \( \angle MOM_1 = 60^\circ \). Пошто су углови на основици једнакокраког троугла једнаки, они износе \( (180^\circ - 60^\circ) : 2 = 60^\circ \).
Сви углови су по \( 60^\circ \).
Одговор: Троугао \( \triangle MOM_1 \) је једнакостраничан.
Угао између тих кракова је угао ротације, дакле \( \angle MOM_1 = 60^\circ \). Пошто су углови на основици једнакокраког троугла једнаки, они износе \( (180^\circ - 60^\circ) : 2 = 60^\circ \).
Сви углови су по \( 60^\circ \).
Одговор: Троугао \( \triangle MOM_1 \) је једнакостраничан.
