Корице уџбеника

V.8. Ротација

Решења + Понављање

Изабери решење задатка:

Задатак 4

Кратко решење

а)

\( A(2, 1), B(3, 2), S(3, 1), \alpha = -90^\circ \) \( \vec{SA} = (2-3, 1-1) = (-1, 0) \) Ротација \( (-1, 0) \) за \( 90^\circ \) у негативном смеру даје вектор \( (0, 1) \). \( A_1 = S + (0, 1) = (3+0, 1+1) = (3, 2) \) \( \vec{SB} = (3-3, 2-1) = (0, 1) \) Ротација \( (0, 1) \) за \( 90^\circ \) у негативном смеру даје вектор \( (1, 0) \). \( B_1 = S + (1, 0) = (3+1, 1+0) = (4, 1) \) Координате су \( A_1(3, 2) \) и \( B_1(4, 1) \).

б)

\( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) \( AB = \sqrt{(3 - 2)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \) \( A_1B_1 = \sqrt{(4 - 3)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \) Пошто је ротација изометрија: \( AB = A_1B_1 = \sqrt{2} \)

Детаљно решење

Корак 1: Анализа ротације тачке \( A \)

Дате су тачке \( A(2, 1) \) и центар ротације \( S(3, 1) \). Приметимо да тачке \( A \) и \( S \) имају исту \( y \)-координату, што значи да дуж \( SA \) лежи на хоризонталној правој. Растојање \( SA \) је \( 3 - 2 = 1 \). Вршимо ротацију за \( \alpha = 90^\circ \) у негативном смеру (смер казаљке на сату). Пошто је \( A \) лево од \( S \), након ротације за \( 90^\circ \) у смеру казаљке на сату, нова тачка \( A_1 \) ће се налазити изнад тачке \( S \). Нове координате ће бити \( x_{A1} = x_S = 3 \) и \( y_{A1} = y_S + SA = 1 + 1 = 2 \). Дакле, \( A_1(3, 2) \).

Корак 2: Анализа ротације тачке \( B \)

Дате су тачке \( B(3, 2) \) и центар ротације \( S(3, 1) \). Приметимо да тачке \( B \) и \( S \) имају исту \( x \)-координату, што значи да дуж \( SB \) лежи на вертикалној правој. Растојање \( SB \) је \( 2 - 1 = 1 \). Вршимо ротацију за \( \alpha = 90^\circ \) у негативном смеру (смер казаљке на сату). Пошто је \( B \) изнад \( S \), након ротације за \( 90^\circ \) у смеру казаљке на сату, нова тачка \( B_1 \) ће се налазити десно од тачке \( S \). Нове координате ће бити \( x_{B1} = x_S + SB = 3 + 1 = 4 \) и \( y_{B1} = y_S = 1 \). Дакле, \( B_1(4, 1) \).

Корак 3: Израчунавање дужине дужи \( AB \)

За израчунавање дужине дужи користимо Питагорину теорему, односно формулу за растојање између тачакa \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \): \[ AB = \sqrt{(3 - 2)^2 + (2 - 1)^2} \] \[ AB = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \]

Корак 4: Израчунавање дужине дужи \( A_1B_1 \)

Користимо исту формулу за тачке \( A_1(3, 2) \) и \( B_1(4, 1) \): \[ A_1B_1 = \sqrt{(4 - 3)^2 + (1 - 2)^2} \] \[ A_1B_1 = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] Важно је приметити да је \( AB = A_1B_1 \), јер је ротација изометрија, што значи да чува растојања између тачака.

Кратак запис решења:

а) \( S(3,1), A(2,1) \rightarrow SA=1 \) (хоризонтално). Ротација \( -90^\circ \) око \( S \): \( A_1(3, 1+1) = (3, 2) \). \( S(3,1), B(3,2) \rightarrow SB=1 \) (вертикално). Ротација \( -90^\circ \) око \( S \): \( B_1(3+1, 1) = (4, 1) \). б) \( AB = \sqrt{(3-2)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} \). \( A_1B_1 = \sqrt{(4-3)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2} \).

Најважније из лекције

Кључни појмови о ротацији:
\( \rightarrow \) Смер: Позитиван (супротно од казаљке на сату) и негативан (смер казаљке на сату).
\( \rightarrow \) Пресликавање: Тачка се слика у нову тачку под условом да је растојање од центра исто (\( OA = OA_1 \)) и да гради задати угао (\( \angle AOA_1 = \alpha \)). Центар се слика у самог себе.
\( \rightarrow \) Изометрија: Ротацијом се не мењају дужине и облици фигура (дужи се сликају у једнаке дужи, троуглови у подударне троуглове).
\( \rightarrow \) Специјалан случај: Ротација за \( 180^\circ \) је исто што и централна симетрија.
Оријентација угла зависи од редоследа навођења његових кракова приликом обележавања тог угла.
Позитиван смер: Смер супротан од кретања казаљке на часовнику. Ако се краци угла наводе у овом смеру, угао је позитивно оријентисан.
Негативан смер: Смер кретања казаљке на часовнику. Ако се краци угла наводе у овом смеру, угао је негативно оријентисан.
Илустрација два смера: Кружница на којој плава стрелица показује смер супротан од казаљке на сату (означено као 'позитиван смер'), а црвена стрелица показује смер казаљке на сату (означено као 'негативан смер').
Ако окрећемо волан аутомобила удесно, у ком смеру вршимо ротацију?
Вршимо ротацију у негативном смеру, јер је то смер кретања казаљке на часовнику.
Ротација с центром \( O \) за угао \( \alpha \) у задатом смеру (позитивном или негативном) је пресликавање којим се свака тачка \( A \) (\( A \neq O \)) пресликава у тачку \( A_1 \) тако да важе следећа два услова:
Растојање од центра остаје исто: \( OA = OA_1 \).
Угао \( \angle AOA_1 \) је оријентисан у задатом смеру и има меру \( \alpha \).
Тачка \( O \) се назива центар ротације и она се при ротацији пресликава сама у себе.
Ротација с центром \( O \) за угао од \( 180^\circ \) (било у позитивном или негативном смеру) јесте централна симетрија са центром \( O \).
Да би се конструисала слика неке фигуре при ротацији, довољно је пресликати њене карактеристичне тачке:
  • За дуж пресликавамо њене крајње тачке.
  • За угао пресликавамо теме и по једну тачку на сваком краку.
  • За многоугао (нпр. троугао) пресликавамо његова темена.
  • За кружницу пресликавамо њен центар и једну тачку са кружнице.
Ротација чува растојање између тачака, што значи да је ротација изометрија.
Ако се дуж \( AB \) ротацијом пресликава у дуж \( A_1B_1 \), тада је \( AB = A_1B_1 \).
Ако се троугао \( ABC \) ротацијом пресликава у троугао \( A_1B_1C_1 \), тада су они подударни: \( \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 \).

Задаци за вежбање

Лаки: Дат је троугао \( ABC \). Приликом ротације овог троугла око тачке \( O \) за угао од \( 45^\circ \) добијен је троугао \( A_1B_1C_1 \). Ако је дужина странице \( AB = 5\text{ cm} \), колика је дужина странице \( A_1B_1 \)?
Пошто је ротација изометрија, она чува дужине дужи. Због тога је \( A_1B_1 = AB \).
Одговор: Дужина странице \( A_1B_1 \) је \( 5\text{ cm} \).
Средњи: Тачка \( P \) се ротира око тачке \( S \) за угао од \( 180^\circ \) и добија се тачка \( P_1 \). Какав је међусобни положај тачака \( P \), \( S \) и \( P_1 \) и какав је однос дужи \( PS \) и \( SP_1 \)?
Ротација за \( 180^\circ \) представља централну симетрију. То значи да су тачке \( P \), \( S \) и \( P_1 \) колинеарне (припадају истој правој), а тачка \( S \) је средиште дужи \( PP_1 \).
Одговор: Тачке су колинеарне, а дужи су једнаке (\( PS = SP_1 \)).
Тешки: Тачка \( M \) (\( M \neq O \)) ротира се око тачке \( O \) за угао од \( 60^\circ \) у позитивном смеру и тако се пресликава у тачку \( M_1 \). Какав је троугао \( \triangle MOM_1 \) према дужинама страница?
По дефиницији ротације, растојање од центра се не мења, па је \( OM = OM_1 \). То значи да је троугао \( \triangle MOM_1 \) једнакокрак.
Угао између тих кракова је угао ротације, дакле \( \angle MOM_1 = 60^\circ \). Пошто су углови на основици једнакокраког троугла једнаки, они износе \( (180^\circ - 60^\circ) : 2 = 60^\circ \).
Сви углови су по \( 60^\circ \).
Одговор: Троугао \( \triangle MOM_1 \) је једнакостраничан.

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

20670 решења

888 лекција и тестова

Иконка Математика

Физика

4729 решења

1046 лекција и тестова

Иконка Физика

Хемија

4553 решења

644 лекција и тестова

Иконка Химия

Историја

1925 одговора на питања

299 резимеа и тестова

Иконка История

Биологија

1332 одговора | 176 лекција

Иконка Биология
5. разред
6. разред
8. разред

PhotoSolveAI

Решавање задатака са слике

Иконка Литература

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста
Сазнај више