Најважније из лекције
Средња вредност (\( \bar{x} \)): Математички просек; добија се када се збир свих података подели њиховим укупним бројем.
Медијана (Me): Средишња вредност узорака који су претходно поређани по величини. Ако је паран број података, рачуна се просек два средња.
Мод (Mo): Вредност која се најчешће појављује. Може постојати један мод, више њих, или ниједан ако се све вредности појављују једнак број пута.
Медијана (Me): Средишња вредност узорака који су претходно поређани по величини. Ако је паран број података, рачуна се просек два средња.
Мод (Mo): Вредност која се најчешће појављује. Може постојати један мод, више њих, или ниједан ако се све вредности појављују једнак број пута.
Популација је скуп свих елемената који се проучавају за одређено статистичко истраживање.
Узорак је подскуп популације који се бира да би се добила информација за целу популацију.
Обележје је карактеристика (особина, својство, мера) елемената популације која се испитује.
Често није могуће одредити вредност обележја за сваки елемент популације, па се вредности мере за елементе пажљиво одабраног узорка.
Средња вредност узорка или просек израчунава се тако што се збир свих вредности у скупу подели бројем тих вредности.
Ознака за средњу вредност узорка је \( \bar{x} \).
Ако је \( n \) број елемената узорка, а њихове вредности \( x_1, x_2, \dots, x_n \), онда је:
\[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \]
Својства средње вредности:
- Увек је већа или једнака најмањој вредности узорка, а мања или једнака највећој вредности.
- Не мора бити једнака ниједној стварној вредности из узорка.
- Ако се свака вредност обележја узорка смањи или повећа одређени број пута, и средња вредност се мења на исти начин (нпр. ако се све вредности смање два пута, и средња вредност се смањи два пута).
- Ако су све вредности у узорку једнаке, средња вредност је једнака тој вредности.
За бројеве \( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \) збир је \( 55 \), а укупан број података је \( 10 \).
Средња вредност је \( \bar{x} = \frac{55}{10} = 5,5 \).
Средња вредност је \( \bar{x} = \frac{55}{10} = 5,5 \).
Израчунај средњу вредност за следећи узорак: 8, 5, 16, 4, 2.
Укупан број елемената је \( 5 \).
Збир вредности: \( 8 + 5 + 16 + 4 + 2 = 35 \).
Средња вредност: \( \bar{x} = \frac{35}{5} = 7 \).
Збир вредности: \( 8 + 5 + 16 + 4 + 2 = 35 \).
Средња вредност: \( \bar{x} = \frac{35}{5} = 7 \).
Медијана (Me) је вредност која се налази тачно у средини уређеног низа података.
Да би се одредила медијана, вредности елемената узорка морају бити поређане од најмање до највеће!
Ако је број података непаран, медијана је централни члан низа.
Пример: За низ 4, 8, 2, 6, 10, прво га уређујемо у 2, 4, 6, 8, 10. Средњи број је 6, па је \( Me = 6 \).
Пример: За низ 4, 8, 2, 6, 10, прво га уређујемо у 2, 4, 6, 8, 10. Средњи број је 6, па је \( Me = 6 \).
Ако је број података паран, медијана је аритметичка средина (просек) два централна члана.
Пример: За уређен низ 7, 10, 15, 23, 41, 42, 48, 52, централни чланови су 23 и 41. Медијана је \( Me = \frac{23+41}{2} = \frac{64}{2} = 32 \).
Пример: За уређен низ 7, 10, 15, 23, 41, 42, 48, 52, централни чланови су 23 и 41. Медијана је \( Me = \frac{23+41}{2} = \frac{64}{2} = 32 \).
Одреди медијану за следеће разломке: \( \frac{1}{2}, \frac{1}{7}, \frac{1}{8}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5} \).
Прво уређујемо низ од најмањег до највећег: \( \frac{1}{8}, \frac{1}{7}, \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \).
Број елемената је паран (6), па узимамо два средња члана: \( \frac{1}{5} \) и \( \frac{1}{4} \).
Медијана је њихова средња вредност: \( Me = \frac{\frac{1}{5} + \frac{1}{4}}{2} = \frac{\frac{4}{20} + \frac{5}{20}}{2} = \frac{\frac{9}{20}}{2} = \frac{9}{40} \).
Број елемената је паран (6), па узимамо два средња члана: \( \frac{1}{5} \) и \( \frac{1}{4} \).
Медијана је њихова средња вредност: \( Me = \frac{\frac{1}{5} + \frac{1}{4}}{2} = \frac{\frac{4}{20} + \frac{5}{20}}{2} = \frac{\frac{9}{20}}{2} = \frac{9}{40} \).
Мод узорка (Mo) је вредност обележја која се најчешће појављује у датом скупу података (има највећу учесталост).
Један узорак може имати више од једног мода ако се две или више вредности појављују исти, максимални број пута.
Ако се вредност сваког елемента у скупу повећа или смањи за неки број (нпр. за 3), онда се и мод мења за тај исти број.
У низу 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, број 4 се појављује највише пута (пет пута), па је мод овог низа \( Mo = 4 \).
Одреди мод(ове) за узорак: 8, 7, 7, 5, 8, 6, 8, 6, 6.
Пребројавамо појављивања:
5 се појављује 1 пут.
7 се појављује 2 пута.
6 се појављује 3 пута.
8 се појављује 3 пута.
Пошто се бројеви 6 и 8 појављују највећи број пута (три пута), овај узорак има два мода: \( Mo = 6 \) и \( Mo = 8 \).
5 се појављује 1 пут.
7 се појављује 2 пута.
6 се појављује 3 пута.
8 се појављује 3 пута.
Пошто се бројеви 6 и 8 појављују највећи број пута (три пута), овај узорак има два мода: \( Mo = 6 \) и \( Mo = 8 \).
Задаци за вежбање
Лак: Дат је низ бројева: 15, 12, 18, 12, 10, 12. Колика је вредност мода за овај низ?
У датом низу број 12 се појављује највише пута (укупно три пута), док се остали бројеви појављују по једном.
Одговор: \( Mo = 12 \).
Одговор: \( Mo = 12 \).
Средњи: Зараде пет радника у једној мањој фирми износе: 45000, 52000, 48000, 50000, 55000 динара. Израчунај средњу вредност њихових зарада и медијану.
Средња вредност: Збир зарада је \( 45000 + 52000 + 48000 + 50000 + 55000 = 250000 \).
\( \bar{x} = \frac{250000}{5} = 50000 \) динара.
Медијана: Прво морамо сортирати зараде од најмање ка највећој: 45000, 48000, 50000, 52000, 55000. Низу од 5 чланова (непаран број), медијана је средњи (трећи) члан.
\( Me = 50000 \) динара.
\( \bar{x} = \frac{250000}{5} = 50000 \) динара.
Медијана: Прво морамо сортирати зараде од најмање ка највећој: 45000, 48000, 50000, 52000, 55000. Низу од 5 чланова (непаран број), медијана је средњи (трећи) члан.
\( Me = 50000 \) динара.
Тежак: Узорак чине четири броја. Познато је да су три броја 8, 14 и 20, а њихова средња вредност је 13. Одреди четврти број узорка, а затим одреди медијану целог узорка.
Нека је четврти број \( y \). Према формули за средњу вредност:
\( \frac{8 + 14 + 20 + y}{4} = 13 \)
\( \frac{42 + y}{4} = 13 \)
\( 42 + y = 13 \cdot 4 \)
\( 42 + y = 52 \implies y = 10 \).
Четврти број је 10. Да бисмо нашли медијану, сортирамо сва 4 броја: 8, 10, 14, 20. Број елемената је паран, па тражимо просек два средња члана:
\( Me = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12 \).
\( \frac{8 + 14 + 20 + y}{4} = 13 \)
\( \frac{42 + y}{4} = 13 \)
\( 42 + y = 13 \cdot 4 \)
\( 42 + y = 52 \implies y = 10 \).
Четврти број је 10. Да бисмо нашли медијану, сортирамо сва 4 броја: 8, 10, 14, 20. Број елемената је паран, па тражимо просек два средња члана:
\( Me = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12 \).
