Најважније из лекције
- Неједначина се решава применом истих правила као код једначина, али се тражи скуп бројева који задовољавају дати услов.
- ПАЖЊА - ПРОМЕНА ЗНАКА: Када је непознат умањилац (\( a - x < b \)) или делилац (\( a : x < b \)), знак неједнакости се обавезно окреће у супротан смер (\( < \) постаје \( > \), и обрнуто). У свим осталим случајевима знак остаје исти.
- УСЛОВИ ОГРАНИЧЕЊА:
- Код одузимања, умањеник мора бити већи или једнак умањиоцу.
- Код дељења, мора се водити рачуна да дељеник буде строго дељив делиоцем (без остатка) ако се решења траже у скупу природних бројева.
Неједнакост се добија када се између два бројевна израза напише један од симбола: \( < \) (мање), \( > \) (веће), \( \leq \) (мање или једнако), \( \geq \) (веће или једнако).
Неједначина је неједнакост у којој се појављује променљива (непозната).
Решење неједначине је сваки број који замењен уместо променљиве даје тачну неједнакост. Сви такви бројеви чине скуп решења.
Пример неједначине: \( x + 3 \geq 5 \)
Ако уместо \( x \) ставимо број 4, добијамо \( 4 + 3 \geq 5 \), што је тачно (\( 7 \geq 5 \)), па је 4 једно од решења ове неједначине.
Ако уместо \( x \) ставимо број 4, добијамо \( 4 + 3 \geq 5 \), што је тачно (\( 7 \geq 5 \)), па је 4 једно од решења ове неједначине.
Непознат сабирак: Решава се пребацивањем познатог сабирка на другу страну уз одузимање. Знак неједнакости остаје исти.
\( x + a < b \implies x < b - a \)
\( x + a < b \implies x < b - a \)
Реши: \( x + 2 < 7 \) у скупу \( \mathbb{N}_0 \)
\( x < 7 - 2 \)
\( x < 5 \)
Скуп решења: \( x \in \{0, 1, 2, 3, 4\} \)
\( x < 7 - 2 \)
\( x < 5 \)
Скуп решења: \( x \in \{0, 1, 2, 3, 4\} \)
Непознат умањеник: Решава се сабирањем разлике и умањиоца. Знак остаје исти.
\( x - a < b \implies x < b + a \)
\( x - a < b \implies x < b + a \)
Да би разлика \( x - a \) постојала у скупу природних бројева, мора да важи услов \( x \geq a \).
Реши: \( x - 27 < 30 \) у скупу \( \mathbb{N} \)
Услов: \( x \geq 27 \)
\( x < 30 + 27 \implies x < 57 \)
Узимајући у обзир услов, скуп решења је \( 27 \leq x < 57 \), односно \( x \in \{27, 28, ..., 56\} \).
Услов: \( x \geq 27 \)
\( x < 30 + 27 \implies x < 57 \)
Узимајући у обзир услов, скуп решења је \( 27 \leq x < 57 \), односно \( x \in \{27, 28, ..., 56\} \).
Непознат умањилац: Ово је специфичан случај! Знак неједнакости се мења (\( < \) постаје \( > \), и обрнуто).
\( a - x < b \implies x > a - b \)
\( a - x < b \implies x > a - b \)
Непознати умањилац мора бити мањи или једнак умањенику (\( x \leq a \)).
Реши: \( 14 - x > 8 \) у скупу \( \mathbb{N}_0 \)
\( x < 14 - 8 \) (знак се променио из \( > \) у \( < \))
\( x < 6 \)
Скуп решења: \( x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \)
\( x < 14 - 8 \) (знак се променио из \( > \) у \( < \))
\( x < 6 \)
Скуп решења: \( x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \)
Непознат чинилац: Производ се дели познатим чиниоцем. Знак остаје исти.
\( a \cdot x < b \implies x < b : a \)
\( a \cdot x < b \implies x < b : a \)
Реши: \( 5 \cdot x < 15 \) у скупу \( \mathbb{N}_0 \)
\( x < 15 : 5 \implies x < 3 \)
Скуп решења: \( x \in \{0, 1, 2\} \)
\( x < 15 : 5 \implies x < 3 \)
Скуп решења: \( x \in \{0, 1, 2\} \)
Непознат дељеник: Количник се множи делиоцем. Знак остаје исти.
\( x : a < b \implies x < b \cdot a \)
\( x : a < b \implies x < b \cdot a \)
Ако се траже решења у скупу природних бројева, мора се поштовати услов дељивости: вредност \( x \) мора бити дељива бројем \( a \).
Реши: \( x : 9 \leq 11 \) у скупу \( \mathbb{N} \)
\( x \leq 11 \cdot 9 \implies x \leq 99 \)
Пошто \( x \) мора бити дељиво са 9, скуп решења чине садржаоци броја 9 до 99: \( x \in \{9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99\} \).
\( x \leq 11 \cdot 9 \implies x \leq 99 \)
Пошто \( x \) мора бити дељиво са 9, скуп решења чине садржаоци броја 9 до 99: \( x \in \{9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99\} \).
Непознат делилац: Као и код непознатог умањиоца, знак неједнакости се мења (\( < \) постаје \( > \), и обрнуто).
\( a : x < b \implies x > a : b \)
\( a : x < b \implies x > a : b \)
Поред промене знака, важи и услов дељивости: дељеник \( a \) мора бити дељив бројем \( x \).
Реши: \( 36 : x < 4 \) у скупу \( \mathbb{N} \)
\( x > 36 : 4 \) (знак се променио из \( < \) у \( > \))
\( x > 9 \)
Решења морају бити већа од 9, али истовремено морају бити делиоци броја 36. Делиоци броја 36 који су већи од 9 су 12, 18 и 36.
Скуп решења: \( x \in \{12, 18, 36\} \).
\( x > 36 : 4 \) (знак се променио из \( < \) у \( > \))
\( x > 9 \)
Решења морају бити већа од 9, али истовремено морају бити делиоци броја 36. Делиоци броја 36 који су већи од 9 су 12, 18 и 36.
Скуп решења: \( x \in \{12, 18, 36\} \).
Задаци за вежбање
Лак: Одреди скуп решења неједначине \( x + 5 \leq 12 \) у скупу \( \mathbb{N}_0 \).
У питању је непознат сабирак. Знак остаје исти.
\( x \leq 12 - 5 \)
\( x \leq 7 \)
Скуп решења: \( x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \)
\( x \leq 12 - 5 \)
\( x \leq 7 \)
Скуп решења: \( x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \)
Средњи: Реши неједначину \( 50 - x < 15 \) у скупу \( \mathbb{N}_0 \).
У питању је непознат умањилац. Знак неједнакости се мења, а \( x \) мора бити мање или једнако 50.
\( x > 50 - 15 \)
\( x > 35 \)
Услов: \( x \leq 50 \)
Скуп решења: Бројеви већи од 35, а мањи или једнаки 50. \( x \in \{36, 37, 38, ..., 50\} \).
\( x > 50 - 15 \)
\( x > 35 \)
Услов: \( x \leq 50 \)
Скуп решења: Бројеви већи од 35, а мањи или једнаки 50. \( x \in \{36, 37, 38, ..., 50\} \).
Тежак: Реши неједначину \( 24 : x > 3 \) у скупу \( \mathbb{N} \).
У питању је непознат делилац. Знак неједнакости се мења!
\( x < 24 : 3 \)
\( x < 8 \)
Додатни услов: Број 24 мора бити дељив бројем \( x \) (тј. \( x \) је делилац броја 24).
Делиоци броја 24 су: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Тражимо оне који су строго мањи од 8.
Скуп решења: \( x \in \{1, 2, 3, 4, 6\} \).
\( x < 24 : 3 \)
\( x < 8 \)
Додатни услов: Број 24 мора бити дељив бројем \( x \) (тј. \( x \) је делилац броја 24).
Делиоци броја 24 су: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Тражимо оне који су строго мањи од 8.
Скуп решења: \( x \in \{1, 2, 3, 4, 6\} \).
