Најважније из лекције
Основни појмови: Тачка, права и раван су основни објекти. Права садржи бесконачно тачака и неограничена је, док је дуж њен део између две тачке.
Фигуре: Многоугао је ограничен изломљеном линијом, а његов обим је збир дужина страница. Паралелограм је четвороугао са паралелним и једнаким наспрамним страницама и дијагоналама које се полове.
Круг: Кружница је линија (скуп тачака удаљених за полупречник \( r \) од центра), а круг обухвата и унутрашњост. Права може бити сечица (сече у 2 тачке) или тангента (додирује у 1 тачки).
Пресликавања (изометрије): Централна симетрија (пресликава тачке преко центра симетрије тако да је он на средини) и транслација (помера све тачке дуж вектора који има свој правац, смер и интензитет) чувају дужине и облик фигура.
Фигуре: Многоугао је ограничен изломљеном линијом, а његов обим је збир дужина страница. Паралелограм је четвороугао са паралелним и једнаким наспрамним страницама и дијагоналама које се полове.
Круг: Кружница је линија (скуп тачака удаљених за полупречник \( r \) од центра), а круг обухвата и унутрашњост. Права може бити сечица (сече у 2 тачке) или тангента (додирује у 1 тачки).
Пресликавања (изометрије): Централна симетрија (пресликава тачке преко центра симетрије тако да је он на средини) и транслација (помера све тачке дуж вектора који има свој правац, смер и интензитет) чувају дужине и облик фигура.
Тачка, права и раван су основни геометријски објекти који се не дефинишу већ се представљају сликама.
Тачке обележавамо великим словима (\( A, B, C... \)), праве малим словима (\( p, q, r... \)), а равни малим словима грчког алфабета (\( \alpha, \beta, \gamma... \)).
Права је одређена са две различите тачке које јој припадају. Свака права садржи бесконачно много тачака.
Колинеарне тачке су тачке које припадају истој правој. У супротном су неколинеарне.
Међусобни положај две праве:
- Секу се у једној тачки (пресечна тачка).
- Паралелне су \( (p \parallel q) \) – немају заједничких тачака или се поклапају.
Полуправа је део праве ограничен са једне стране тачком (почетна тачка). Дуж је део праве ограничен са две тачке (крајње тачке).
Колико правих је одређено са три неколинеарне тачке \( A, B \) и \( C \)?
Одговор: Одређене су тачно три праве: \( p(A,B) \), \( p(B,C) \) и \( p(A,C) \).
Основна јединица за мерење дужине је метар \( (m) \). Мање јединице су дециметар \( (dm) \), центиметар \( (cm) \) и милиметар \( (mm) \). Већа јединица је километар \( (km) \).
Средиште дужи \( AB \) је тачка \( S \) која припада тој дужи и дели је на два једнака дела \( (AS = BS) \).
Изломљена линија настаје спајањем више дужи тако да се надовезују једна на другу (крај једне је почетак друге). Може бити отворена или затворена, са или без тачака самопресецања.
Многоугао је геометријска фигура коју чине затворена изломљена линија без тачака самопресецања (многоугаона линија) и њена унутрашња област.
Обим многоугла \( (O) \) је збир дужина свих његових страница.
Паралелограм је четвороугао чије су наспрамне странице паралелне.
Особине паралелограма:
1. Наспрамне странице су међусобно једнаке.
2. Дијагонале се међусобно полове (секу се у тачки која је средиште и једне и друге дијагонале).
1. Наспрамне странице су међусобно једнаке.
2. Дијагонале се међусобно полове (секу се у тачки која је средиште и једне и друге дијагонале).
Кружница \( k(O, r) \) је скуп свих тачака у равни које су на једнаком растојању (полупречнику \( r \)) од једне утврђене тачке (центра \( O \)).
Круг \( K(O, r) \) чине кружница и све тачке њене унутрашње области.
Круг \( K(O, r) \) чине кружница и све тачке њене унутрашње области.
Елементи кружнице:
- Полупречник (\( r \)): Дуж која спаја центар са тачком на кружници.
- Тетива: Дуж чије крајње тачке припадају кружници.
- Пречник (\( d \)): Најдужа тетива, пролази кроз центар. Важи \( d = 2r \).
- Кружни лук: Део кружнице између две њене тачке.
Однос праве и кружнице:
- Права нема заједничких тачака са кружницом (ван ње је).
- Тангента: Права која додирује кружницу у тачно једној тачки (тачка додира).
- Сечица: Права која сече кружницу у две тачке. Део сечице унутар кружнице је тетива.
Ако је полупречник кружнице \( 4 \text{ cm} \), колика је дужина њене најдуже тетиве?
Одговор: Најдужа тетива кружнице је њен пречник. Пречник је двоструко већи од полупречника, дакле \( 2 \cdot 4 \text{ cm} = 8 \text{ cm} \).
Вектор је усмерена дуж, графички представљена стрелицом (нпр. \( \vec{AB} \), \( \vec{v} \)). Потпуно је одређен са три карактеристике:
- Правац: Права на којој се вектор налази (или њој паралелна права).
- Смер: Оријентација на тој правој (на пример, од \( A \) ка \( B \) или од \( B \) ка \( A \)).
- Интензитет: Дужина те усмерене дужи.
Два вектора су једнака ако имају исти правац (паралелни су), исти смер и једнак интензитет (дужину).
Транслација (пренос) за вектор \( \vec{v} \) је пресликавање које сваку тачку \( T \) равни помера дуж правца вектора \( \vec{v} \), у његовом смеру и за његов интензитет у тачку \( T_1 \), тако да важи \( \vec{TT_1} = \vec{v} \).
Транслација је изометријска трансформација, што значи да чува дужине (растојање између било које две тачке и њихових слика једнако је). Права се транслацијом пресликава у себи паралелну праву.
Централна симетрија у односу на тачку \( O \) (центар симетрије) је пресликавање које тачку \( A \) пресликава у тачку \( A_1 \) тако да је \( O \) средиште дужи \( AA_1 \).
Као и транслација, и централна симетрија је изометријска трансформација (чува растојања).
Дуж се слика у једнаку и паралелну дуж. Права која не садржи центар симетрије слика се у њој паралелну праву.
Дуж се слика у једнаку и паралелну дуж. Права која не садржи центар симетрије слика се у њој паралелну праву.
Фигура је централносиметрична уколико се централном симетријом у односу на неки центар пресликава у саму себе (нпр. круг се у односу на свој центар слика у самог себе).
Где се налази центар симетрије дужи \( AB \) ако се она том симетријом пресликава у саму себе?
Одговор: Центар симетрије те дужи је њено средиште.
Практични задаци
Лак: Израчунај обим троугла чије су дужине страница \( a = 4 \text{ cm} \), \( b = 50 \text{ mm} \) и \( c = 0.6 \text{ dm} \).
Прво морамо све мере претворити у исту јединицу (нпр. центиметре):
\( a = 4 \text{ cm} \)
\( b = 50 \text{ mm} = 5 \text{ cm} \)
\( c = 0.6 \text{ dm} = 6 \text{ cm} \)
Обим троугла је \( O = a + b + c = 4 \text{ cm} + 5 \text{ cm} + 6 \text{ cm} = 15 \text{ cm} \).
\( a = 4 \text{ cm} \)
\( b = 50 \text{ mm} = 5 \text{ cm} \)
\( c = 0.6 \text{ dm} = 6 \text{ cm} \)
Обим троугла је \( O = a + b + c = 4 \text{ cm} + 5 \text{ cm} + 6 \text{ cm} = 15 \text{ cm} \).
Средњи: Дат је круг \( K(O, 5 \text{ cm}) \). Права \( p \) је на растојању \( 3 \text{ cm} \) од центра \( O \), права \( q \) на растојању \( 5 \text{ cm} \), а права \( r \) на растојању \( 7 \text{ cm} \). Одреди однос ових правих према кругу (да ли су сечице, тангенте или немају заједничких тачака).
Упоређујемо растојања са полупречником \( r = 5 \text{ cm} \):
- Права \( p \) (растојање \( 3 \text{ cm} < 5 \text{ cm} \)) сече круг (сечица).
- Права \( q \) (растојање \( 5 \text{ cm} = 5 \text{ cm} \)) додирује круг (тангента).
- Права \( r \) (растојање \( 7 \text{ cm} > 5 \text{ cm} \)) нема заједничких тачака са кругом.
- Права \( p \) (растојање \( 3 \text{ cm} < 5 \text{ cm} \)) сече круг (сечица).
- Права \( q \) (растојање \( 5 \text{ cm} = 5 \text{ cm} \)) додирује круг (тангента).
- Права \( r \) (растојање \( 7 \text{ cm} > 5 \text{ cm} \)) нема заједничких тачака са кругом.
Тежак: Дат је паралелограм \( ABCD \) чије се дијагонале секу у тачки \( S \). Ако је дужина дијагонале \( AC = 12 \text{ cm} \), а дијагонале \( BD = 8 \text{ cm} \), израчунај растојања од темена паралелограма до пресечне тачке \( S \).
Особина паралелограма је да се његове дијагонале међусобно полове у пресечној тачки.
То значи да је тачка \( S \) средиште дијагонале \( AC \) и дијагонале \( BD \).
Растојања од темена \( A \) и \( C \) до тачке \( S \) су једнака половини \( AC \): \( 12 \text{ cm} : 2 = 6 \text{ cm} \).
Растојања од темена \( B \) и \( D \) до тачке \( S \) су једнака половини \( BD \): \( 8 \text{ cm} : 2 = 4 \text{ cm} \).
Одговор: \( AS = CS = 6 \text{ cm} \), \( BS = DS = 4 \text{ cm} \).
То значи да је тачка \( S \) средиште дијагонале \( AC \) и дијагонале \( BD \).
Растојања од темена \( A \) и \( C \) до тачке \( S \) су једнака половини \( AC \): \( 12 \text{ cm} : 2 = 6 \text{ cm} \).
Растојања од темена \( B \) и \( D \) до тачке \( S \) су једнака половини \( BD \): \( 8 \text{ cm} : 2 = 4 \text{ cm} \).
Одговор: \( AS = CS = 6 \text{ cm} \), \( BS = DS = 4 \text{ cm} \).
