Најважније из лекције
Сабирање/Одузимање разломака: Свођење на заједнички именилац. (\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \))
Множење/Дељење разломака: Бројилац са бројиоцем, именилац са имениоцем. Дељење претварамо у множење реципрочном вредношћу. (\( \frac{1}{2} : \frac{2}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4} \))
Сабирање/Одузимање децималних бројева: Поравнање по запети (зарез испод зареза). (\( 1,2 + 3,45 = 1,20 + 3,45 = 4,65 \))
Множење/Дељење децималних бројева: Код множења сабирамо број децималних места. Код дељења множимо оба броја декадном јединицом да делилац постане цео број. (\( 1,5 \cdot 0,2 = 0,30 = 0,3 \); \( 1,5 : 0,2 = 15 : 2 = 7,5 \))
Множење/Дељење разломака: Бројилац са бројиоцем, именилац са имениоцем. Дељење претварамо у множење реципрочном вредношћу. (\( \frac{1}{2} : \frac{2}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4} \))
Сабирање/Одузимање децималних бројева: Поравнање по запети (зарез испод зареза). (\( 1,2 + 3,45 = 1,20 + 3,45 = 4,65 \))
Множење/Дељење децималних бројева: Код множења сабирамо број децималних места. Код дељења множимо оба броја декадном јединицом да делилац постане цео број. (\( 1,5 \cdot 0,2 = 0,30 = 0,3 \); \( 1,5 : 0,2 = 15 : 2 = 7,5 \))
Када разломци имају једнаке имениоце, сабирају се или одузимају тако што се њихови бројиоци саберу (или одузму), а именилац остаје исти.
Разломци који имају различите имениоце морају се прво, проширивањем или скраћивањем, довести до заједничког имениоца, а затим се врши рачунска операција.
\[ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \]
\[ \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} \]
Израчунај: \( \frac{3}{4} - \frac{2}{5} \)
Тражимо најмањи заједнички садржалац за 4 и 5, што је 20.
Први разломак проширујемо са 5, а други са 4:
\( \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} - \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{15}{20} - \frac{8}{20} = \frac{7}{20} \)
Први разломак проширујемо са 5, а други са 4:
\( \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} - \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{15}{20} - \frac{8}{20} = \frac{7}{20} \)
Збир природног броја и правог разломка се записује као мешовити број (нпр. \( 2 + \frac{5}{7} = 2\frac{5}{7} \)).
Цели делови се сабирају са целим деловима, а разломљени са разломљеним. Алтернативно, мешовити бројеви се могу претворити у неправи разломак пре сабирања.
Када је разломљени део умањеника мањи од разломљеног дела умањиоца, врши се „позајмљивање” 1 из целог дела умањеника.
Израчунај: \( 7\frac{1}{4} - \frac{2}{3} \)
Сводимо на заједнички именилац (12):
\( 7\frac{3}{12} - \frac{8}{12} \)
Како је 3 мање од 8, „позајмљујемо” једно цело (које је \( \frac{12}{12} \)) од броја 7:
\( 6\frac{15}{12} - \frac{8}{12} = 6\frac{7}{12} \)
\( 7\frac{3}{12} - \frac{8}{12} \)
Како је 3 мање од 8, „позајмљујемо” једно цело (које је \( \frac{12}{12} \)) од броја 7:
\( 6\frac{15}{12} - \frac{8}{12} = 6\frac{7}{12} \)
Производ два разломка добија се када се бројилац помножи бројиоцем, а именилац имениоцем. Пре множења, разломци се могу унакрсно скратити (делимо истим бројем бројилац једног и именилац другог разломка).
\[ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \]
За два разломка кажемо да су реципрочни ако је њихов производ једнак 1. Разломку \( \frac{a}{b} \) реципрочан је разломак \( \frac{b}{a} \).
Израчунај уз унакрсно скраћивање: \( \frac{3}{8} \cdot \frac{10}{27} \)
Бројеве 3 и 27 скраћујемо са 3 (остају 1 и 9).
Бројеве 8 и 10 скраћујемо са 2 (остају 4 и 5).
\( \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{9} = \frac{5}{36} \)
Бројеве 8 и 10 скраћујемо са 2 (остају 4 и 5).
\( \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{9} = \frac{5}{36} \)
Поделити разломак другим разломком исто је што и помножити тај разломак реципрочном вредношћу другог разломка.
\[ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \]
Количник два разломка може се записати као двојни разломак. Он је једнак разломку чији је бројилац производ спољашњих чланова, а именилац производ унутрашњих чланова.
\[ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \]
Израчунај: \( \frac{4}{7} : \frac{1}{3} \)
\( \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{1} = \frac{12}{7} = 1\frac{5}{7} \)
Децималне бројеве сабирамо и одузимамо тако што их правилно потпишемо: децимална запета мора бити испод децималне запете. Затим се рачуна као са природним бројевима.
Ако један од бројева има мање децималних места, здесна увек можемо дописати потребан број нула.
Израчунај: \( 41,3 - 24,17 \)
Дописујемо нулу умањенику ради поравнања цифара:
\( 41,30 \)
\( - 24,17 \)
_______
\( 17,13 \)
\( 41,30 \)
\( - 24,17 \)
_______
\( 17,13 \)
При множењу са \( 10, 100, 1000... \) децимални зарез се помера удесно за онолико места колико има нула.
При дељењу са \( 10, 100, 1000... \) децимални зарез се помера улево за онолико места колико има нула.
При дељењу са \( 10, 100, 1000... \) децимални зарез се помера улево за онолико места колико има нула.
Множе се као природни бројеви (без зареза), а затим се у производу одвоји онолико децималних места колико их укупно имају оба чиниоца.
Да бисмо поделили два децимална броја, дељеник и делилац множимо истом декадном јединицом тако да делилац постане природан број, а затим вршимо дељење.
Израчунај: а) \( 3,24 \cdot 1,8 \) б) \( 6,4 : 0,08 \)
а) Множимо \( 324 \cdot 18 = 5832 \). Први број има 2 децимале, други 1 (укупно 3). Одвајамо три места: \( 5,832 \).
б) Проширујемо оба броја са 100 да би делилац постао цео број: \( 640 : 8 = 80 \).
б) Проширујемо оба броја са 100 да би делилац постао цео број: \( 640 : 8 = 80 \).
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај збир и разлику разломака \( \frac{5}{6} \) и \( \frac{1}{6} \). Затим резултате скрати ако је могуће.
Збир: \( \frac{5}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1 \)
Разлика: \( \frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
Разлика: \( \frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
Средњи: Израчунај вредност израза: \( \frac{2}{3} + 1\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} \)
Прво обављамо множење, уз претварање мешовитог броја у неправи разломак:
\( 1\frac{4}{5} = \frac{9}{5} \)
\( \frac{9}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{9 \cdot 5}{5 \cdot 6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \) (после унакрсног скраћивања са 5 и 3).
Сада сабирамо: \( \frac{2}{3} + \frac{3}{2} \) (Заједнички именилац је 6)
\( \frac{4}{6} + \frac{9}{6} = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6} \)
\( 1\frac{4}{5} = \frac{9}{5} \)
\( \frac{9}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{9 \cdot 5}{5 \cdot 6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \) (после унакрсног скраћивања са 5 и 3).
Сада сабирамо: \( \frac{2}{3} + \frac{3}{2} \) (Заједнички именилац је 6)
\( \frac{4}{6} + \frac{9}{6} = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6} \)
Средњи: Реши двојни разломак: \( \frac{\frac{3}{10}}{\frac{7}{15}} \)
Множимо спољашње чланове за бројилац и унутрашње за именилац:
\( \frac{3 \cdot 15}{10 \cdot 7} \)
Скраћујемо 15 и 10 са 5 (остају 3 и 2):
\( \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 7} = \frac{9}{14} \)
\( \frac{3 \cdot 15}{10 \cdot 7} \)
Скраћујемо 15 и 10 са 5 (остају 3 и 2):
\( \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 7} = \frac{9}{14} \)
Тежак: Израчунај вредност израза који комбинује разломке и децималне бројеве: \( ( 5,2 - 2\frac{1}{5} ) : 0,6 \)
Најлакше је претворити све у децимални запис или све у разломке. Претворимо све у децимални запис:
\( 2\frac{1}{5} = 2 + \frac{2}{10} = 2,2 \)
Рачунамо заграду: \( 5,2 - 2,2 = 3,0 = 3 \)
Сада делимо: \( 3 : 0,6 \)
Проширујемо са 10: \( 30 : 6 = 5 \)
Резултат: 5
\( 2\frac{1}{5} = 2 + \frac{2}{10} = 2,2 \)
Рачунамо заграду: \( 5,2 - 2,2 = 3,0 = 3 \)
Сада делимо: \( 3 : 0,6 \)
Проширујемо са 10: \( 30 : 6 = 5 \)
Резултат: 5
