Најважније из лекције
Осна симетрија је пресликавање које чува дужине, углове и паралелност. Тачке се пресликавају преко осе симетрије по нормали, на исто растојање са друге стране.
Симетрала дужи је права нормална на дуж у њеном средишту. Користи се када тражимо тачке једнако удаљене од две дате тачке.
Симетрала угла полови угао. Користи се када тражимо тачке једнако удаљене од кракова угла (нпр. за центар уписане кружнице).
Нормала се увек конструише помоћу шестара проналажењем тачака које су симетричне око жељеног подножја нормале и конструисањем пресека њихових кружних лукова.
Симетрала дужи је права нормална на дуж у њеном средишту. Користи се када тражимо тачке једнако удаљене од две дате тачке.
Симетрала угла полови угао. Користи се када тражимо тачке једнако удаљене од кракова угла (нпр. за центар уписане кружнице).
Нормала се увек конструише помоћу шестара проналажењем тачака које су симетричне око жељеног подножја нормале и конструисањем пресека њихових кружних лукова.
Тачка \( A' \) је осносиметрична тачки \( A \) у односу на праву \( s \) (осу симетрије) ако се налази на нормали из тачке \( A \) на праву \( s \) и ако су тачке \( A \) и \( A' \) једнако удаљене од праве \( s \) са њених различитих страна.
Фигура је осносиметрична ако постоји бар једна права (оса симетрије) која је дели на две једнаке (подударне) фигуре.
Осна симетрија је изометријска трансформација јер чува растојање између тачака. Такође чува паралелност, распоред тачака на правој и величину углова. Дуж се пресликава у једнаку дуж, а угао у једнак угао.
Тачка која се налази на самој оси симетрије пресликава се сама у себе.
Да бисмо конструисали слику дужи или троугла, довољно је пресликати само крајње тачке (темена). Кружница се пресликава тако што се преслика њен центар, док полупречник остаје исти.
Геометријска конструкција (само шестаром и лењиром) тачке \( A' \) која је симетрична тачки \( A \) у односу на осу \( s \).
Постави иглу шестара у тачку \( A \) и конструиши лук (полупречника већег од растојања до праве) који сече осу \( s \) у двема тачкама, \( M \) и \( N \).
Не мењајући отвор шестара, из тачака \( M \) и \( N \) конструиши лукове чији се пресек налази са супротне стране праве \( s \) у односу на тачку \( A \). То је тачка \( A' \).
Симетрала дужи \( AB \) (означава се са \( s_{AB} \)) је права која садржи средиште те дужи и нормална је на њу. Она је уједно и оса симетрије те дужи.
Свака тачка симетрале дужи једнако је удаљена од крајева те дужи (\( XA = XB \)). Важи и обрнуто: ако је нека тачка једнако удаљена од крајева дужи, она обавезно припада симетрали те дужи.
Из тачака \( A \) и \( B \) конструиши кружне лукове полупречника већег од половине дужи \( AB \). Права која пролази кроз две пресечне тачке ових лукова је симетрала дужи \( AB \).
Конструкција нормале на праву \( p \) из тачке \( P \) своди се на налажење симетрале одговарајуће дужи.
Ако \( P \in p \): Шестаром из \( P \) одреди тачке \( B \) и \( C \) на правој тако да је \( P \) њихово средиште (\( PB = PC \)). Затим из \( B \) и \( C \) конструиши лукове већег полупречника; њихов пресек \( D \) одређује нормалу \( PD \).
Ако \( P \notin p \): Шестаром из \( P \) направи лук који сече праву у тачкама \( B \) и \( C \). Затим из \( B \) и \( C \) конструиши лукове (најчешће са супротне стране праве од \( P \)) чији пресек даје тачку \( D \). Права \( PD \) је тражена нормала.
Симетрала угла је полуправа која припада углу, садржи његово теме и дели га на два једнака (подударна) угла.
Свака тачка на симетрали угла једнако је удаљена од правих на којима се налазе краци тог угла. Због овога се центар кружнице уписане у угао налази управо на његовој симетрали.
1. Лук из темена угла сече краке у тачкама \( P \) и \( Q \).
2. Истим отвором шестара из \( P \) и \( Q \) конструишу се лукови унутар угла.
3. Полуправа из темена кроз пресечну тачку ових лукова је симетрала.
2. Истим отвором шестара из \( P \) и \( Q \) конструишу се лукови унутар угла.
3. Полуправа из темена кроз пресечну тачку ових лукова је симетрала.
Задаци за вежбање
Лак: Да ли се свака права при осној симетрији пресликава у праву паралелну самој себи?
Не увек. У паралелну праву се пресликава само ако је и почетна права паралелна оси симетрије. Ако права сече осу симетрије, и њена слика ће сећи осу симетрије у истој тачки (неће бити паралелне). Ако је права нормална на осу симетрије, она се пресликава сама у себе.
Средњи: Да ли је дијагонала правоугаоника његова оса симетрије?
Не. Иако дијагонала дели правоугаоник на два подударна троугла, уколико бисмо правоугаоник преклопили по дијагонали, наспрамна темена се не би поклопила (осим у случају када је правоугаоник квадрат). Осе симетрије правоугаоника су симетрале његових страница.
Тежак: Потребно је пронаћи место за бунар које мора бити једнако удаљено од три куће \( A, B \) и \( C \) (које нису у истој линији). Како се геометријски може одредити тачна локација?
Куће чине темена троугла \( ABC \). Место које је једнако удаљено од кућа \( A \) и \( B \) мора се налазити на симетрали дужи \( AB \). Место које је једнако удаљено од \( B \) и \( C \) налази се на симетрали дужи \( BC \). Тражена локација бунара је пресечна тачка ове две симетрале (то је уједно и центар кружнице описане око троугла \( ABC \)).
