Најважније из лекције
- Бројеви: \( N \) је скуп природних бројева, док \( N_0 \) садржи и нулу. Бројеви се могу приказати и упоређивати на бројевној полуправој.
- Рачунске операције: Приоритет имају заграде, затим множење и дељење, па тек онда сабирање и одузимање.
- Скупови: Скуп је одређен својим елементима (\( \in \)). Празан скуп (\( \varnothing \)) нема елементе. Подскуп (\( \subset \)) је скуп чији су сви елементи садржани у другом скупу.
- Скуповне операције: Пресек (\( \cap \)) издваја заједничке елементе, унија (\( \cup \)) спаја све елементе, а разлика (\( \setminus \)) издваја елементе првог који нису у другом скупу.
Скуп свих природних бројева означава се са \( N = \{1, 2, 3, 4, ...\} \). Ако овом скупу додамо нулу, добијамо скуп природних бројева са нулом који се означава са \( N_0 = \{0, 1, 2, 3, ...\} \).
Нула није природан број!
Следбеник природног броја \( n \) је број \( n + 1 \).
Претходник природног броја \( n \) је број \( n - 1 \).
Број 1 нема претходника у скупу \( N \), али у скупу \( N_0 \) његов претходник је 0.
Претходник природног броја \( n \) је број \( n - 1 \).
Број 1 нема претходника у скупу \( N \), али у скупу \( N_0 \) његов претходник је 0.
Скуп природних бројева је уређен скуп и може се приказати на бројевној полуправој. Она почиње тачком \( O \) (којој се придружује 0). Бројеви су поређани по величини, тако да је мањи број увек лево од већег броја.
Одреди претходник и следбеник најмањег двоцифреног броја у скупу \( N \).
Најмањи двоцифрени природан број је 10.
Његов претходник је \( 10 - 1 = 9 \), а следбеник је \( 10 + 1 = 11 \).
Његов претходник је \( 10 - 1 = 9 \), а следбеник је \( 10 + 1 = 11 \).
Основне рачунске операције у скуповима \( N \) и \( N_0 \) су сабирање, одузимање, множење и дељење.
Називи чланова:
Сабирање: сабирак + сабирак = збир
Одузимање: умањеник - умањилац = разлика
Множење: чинилац \(\cdot\) чинилац = производ
Дељење: дељеник : делилац = количник
Сабирање: сабирак + сабирак = збир
Одузимање: умањеник - умањилац = разлика
Множење: чинилац \(\cdot\) чинилац = производ
Дељење: дељеник : делилац = количник
Нулом се не дели!
Редослед операција: Ако израз садржи заграде, прво се рачунају изрази у њима. Множење и дељење су приоритетније операције у односу на сабирање и одузимање.
Особине рачунских операција:
\[ a + b = b + a \quad \text{(Комутативност сабирања)} \]
\[ a \cdot b = b \cdot a \quad \text{(Комутативност множења)} \]
\[ a + (b + c) = (a + b) + c \quad \text{(Асоцијативност сабирања)} \]
\[ a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \quad \text{(Асоцијативност множења)} \]
\[ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \quad \text{(Дистрибутивност)} \]
Израчунај вредност израза: \( 15 + 5 \cdot 4 \).
Због редоследа операција прво множимо, а затим сабирамо: \( 15 + (5 \cdot 4) = 15 + 20 = 35 \).
Скуп је мноштво објеката који имају заједничко својство. Те објекте називамо елементима скупа. Припадање елемента скупу означавамо знаком \( \in \), а неприпадање знаком \( \notin \).
Скуп који нема ниједан елемент назива се празан скуп и обележава се са \( \varnothing \).
Скупови се графички представљају затвореном линијом у чијој унутрашњости се налазе тачке које представљају елементе. Овакав приказ назива се Венов дијаграм.
Подскуп: Ако је сваки елемент скупа \( A \) уједно и елемент скупа \( B \), кажемо да је \( A \) подскуп скупа \( B \) и пишемо \( A \subset B \).
Дати су скупови \( A = \{2, 4, 6\} \) и \( B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \). Да ли важи \( A \subset B \)?
Да, \( A \subset B \) важи јер се сви елементи скупа \( A \) (бројеви 2, 4 и 6) налазе и у скупу \( B \).
Пресек скупова (\( A \cap B \)) чине сви елементи који припадају и скупу \( A \) и скупу \( B \).
\[ A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \in B\} \]
Унија скупова (\( A \cup B \)) чине сви елементи који припадају бар једном од скупова (у скупу \( A \) или у скупу \( B \)).
\[ A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ или } x \in B\} \]
Разлика скупова (\( A \setminus B \)) чине сви елементи који припадају скупу \( A \), али не припадају скупу \( B \).
\[ A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \notin B\} \]
Скупови чији је пресек празан скуп (\( A \cap B = \varnothing \)) називају се дисјунктни скупови.
Ако је \( A = \{1, 2, 3\} \) и \( B = \{3, 4, 5\} \), одреди \( A \cap B \).
Пресек чине заједнички елементи оба скупа, па је \( A \cap B = \{3\} \).
Задаци за вежбање
Лак: Дат је скуп \( S = \{5, 10, 15, 20\} \). Означи шта је тачно, а шта нетачно:
а) \( 10 \in S \)
б) \( 25 \in S \)
в) \( \{5, 15\} \subset S \)
а) \( 10 \in S \)
б) \( 25 \in S \)
в) \( \{5, 15\} \subset S \)
а) Тачно (број 10 припада скупу).
б) Нетачно (број 25 се не налази у скупу).
в) Тачно (оба елемента, и 5 и 15, су у скупу \( S \), па је то његов подскуп).
б) Нетачно (број 25 се не налази у скупу).
в) Тачно (оба елемента, и 5 и 15, су у скупу \( S \), па је то његов подскуп).
Средњи: Израчунај користећи особину дистрибутивности: \( 14 \cdot 7 + 14 \cdot 3 \).
Применом дистрибутивности издвајамо заједнички чинилац 14 испред заграде:
\( 14 \cdot (7 + 3) = 14 \cdot 10 = 140 \).
\( 14 \cdot (7 + 3) = 14 \cdot 10 = 140 \).
Средњи: Дати су скупови \( X = \{a, b, c, d\} \) и \( Y = \{c, d, e, f\} \). Одреди \( X \cup Y \) и \( X \setminus Y \).
Унија садржи све елементе из оба скупа (без понављања): \( X \cup Y = \{a, b, c, d, e, f\} \).
Разлика садржи само оне елементе који су у \( X \), а нису у \( Y \): \( X \setminus Y = \{a, b\} \).
Разлика садржи само оне елементе који су у \( X \), а нису у \( Y \): \( X \setminus Y = \{a, b\} \).
Тежак: Постави заграде тако да једнакост буде тачна: \( 12 + 8 \cdot 3 - 5 = 55 \).
Да би резултат био 55, прво морамо сабрати 12 и 8 да бисмо добили 20. Затим то помножимо са 3, што даје 60. На крају одузмемо 5.
Дакле, заграде се постављају овако: \( (12 + 8) \cdot 3 - 5 = 55 \).
Дакле, заграде се постављају овако: \( (12 + 8) \cdot 3 - 5 = 55 \).
Тежак: Ако су скупови \( P \) и \( Q \) дисјунктни, шта је њихов пресек, а шта разлика \( P \setminus Q \)?
Пошто су дисјунктни, немају заједничких елемената, па је пресек празан скуп: \( P \cap Q = \varnothing \).
Разлика \( P \setminus Q \) садржи све елементе скупа \( P \) који нису у \( Q \). Пошто ниједан елемент скупа \( P \) није у \( Q \), разлика је цео скуп \( P \): \( P \setminus Q = P \).
Разлика \( P \setminus Q \) садржи све елементе скупа \( P \) који нису у \( Q \). Пошто ниједан елемент скупа \( P \) није у \( Q \), разлика је цео скуп \( P \): \( P \setminus Q = P \).
