Најважније из лекције
Сабирање мешовитих бројева: Цели делови се сабирају са целим деловима, а разломци са разломцима након свођења на исти именилац.
Одузимање без позајмљивања: Ако је умањеник већи у разломљеном делу, једноставно одузимамо целе од целих и разломке од разломака.
Одузимање с позајмљивањем: Користи се када је разломак умањеника мањи од разломка умањиоца. Тада од целог дела умањеника претварамо једно цело у разломак (нпр. \( 1 = \frac{5}{5} \)) и додајемо га постојећем разломку пре одузимања, или све преводимо у неправи разломак.
Одузимање без позајмљивања: Ако је умањеник већи у разломљеном делу, једноставно одузимамо целе од целих и разломке од разломака.
Одузимање с позајмљивањем: Користи се када је разломак умањеника мањи од разломка умањиоца. Тада од целог дела умањеника претварамо једно цело у разломак (нпр. \( 1 = \frac{5}{5} \)) и додајемо га постојећем разломку пре одузимања, или све преводимо у неправи разломак.
Збир природног броја и правог разломка може се записати у облику мешовитог броја тако што се изостави знак плус (+) између њих.
\[ 1 + \frac{1}{2} = 1\frac{1}{2} \]
\[ 17 + 10\frac{13}{14} = (17 + 10) + \frac{13}{14} = 27\frac{13}{14} \]
Мешовите бројеве можемо сабирати на два начина, користећи својства комутативности и асоцијативности или превођењем у неправи разломак.
Сабирање целих и разломљених делова посебно: Саберемо целе делове са целим деловима, а разломљене делове (након свођења на заједнички именилац) са разломљеним деловима.
\[ 2\frac{2}{5} + 3\frac{1}{2} = (2 + 3) + \left( \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \right) = 5 + \left( \frac{4}{10} + \frac{5}{10} \right) = 5 + \frac{9}{10} = 5\frac{9}{10} \]
Превођење у неправи разломак: Оба мешовита броја преведемо у неправи разломак, саберемо их, а затим резултат (ако је могуће) поново претворимо у мешовити број.
\[ 2\frac{2}{5} + 3\frac{1}{2} = \frac{12}{5} + \frac{7}{2} = \frac{24}{10} + \frac{35}{10} = \frac{59}{10} = 5\frac{9}{10} \]
Сабери \( \frac{2}{3} \) и \( 1\frac{4}{5} \).
\[ \frac{2}{3} + 1\frac{4}{5} = \frac{2}{3} + 1 + \frac{4}{5} = 1 + \left( \frac{2}{3} + \frac{4}{5} \right) = 1 + \left( \frac{10}{15} + \frac{12}{15} \right) = 1 + \frac{22}{15} \]
Пошто је \( \frac{22}{15} = 1\frac{7}{15} \), даље имамо:
\[ 1 + 1\frac{7}{15} = 2\frac{7}{15} \]
Ако разломљени део умањеника има већу вредност од разломљеног дела умањиоца, одузимамо целе делове од целих, а разломљене од разломљених (након свођења на исте имениоце).
\[ 5\frac{12}{14} - 1\frac{3}{14} = (5 - 1) + \left( \frac{12}{14} - \frac{3}{14} \right) = 4\frac{9}{14} \]
Када је разломљени део умањеника мањи од разломљеног дела умањиоца, не можемо директно одузети разломке. Тада користимо „позајмљивање” или превођење у неправи разломак.
„Позајмљивање”: Од целог дела умањеника „позајмимо” 1 (једно цело) и претворимо га у разломак (нпр. \( 1 = \frac{12}{12} \)), па га додамо постојећем разломљеном делу умањеника. Након тога вршимо одузимање.
Пример: \( 7\frac{1}{4} - \frac{2}{3} \)
Сведемо на заједнички именилац: \( 7\frac{3}{12} - \frac{8}{12} \)
Пошто не можемо одузети 8 од 3, „позајмљујемо” од седмице: \( 7 = 6 + 1 = 6 + \frac{12}{12} \)
Нови облик умањеника: \( 6 + \frac{12}{12} + \frac{3}{12} = 6\frac{15}{12} \)
Сада одузимамо: \( 6\frac{15}{12} - \frac{8}{12} = 6\frac{7}{12} \)
Сведемо на заједнички именилац: \( 7\frac{3}{12} - \frac{8}{12} \)
Пошто не можемо одузети 8 од 3, „позајмљујемо” од седмице: \( 7 = 6 + 1 = 6 + \frac{12}{12} \)
Нови облик умањеника: \( 6 + \frac{12}{12} + \frac{3}{12} = 6\frac{15}{12} \)
Сада одузимамо: \( 6\frac{15}{12} - \frac{8}{12} = 6\frac{7}{12} \)
Превођење у неправи разломак: Целе мешовите бројеве претворимо у неправи разломак и нормално их одузмемо.
\[ 7\frac{1}{4} - \frac{2}{3} = \frac{29}{4} - \frac{2}{3} = \frac{87}{12} - \frac{8}{12} = \frac{79}{12} = 6\frac{7}{12} \]
Израчунај \( 5\frac{1}{5} - 2\frac{3}{5} \) користећи методу позајмљивања.
Не можемо одузети \( \frac{3}{5} \) од \( \frac{1}{5} \), па „позајмљујемо” једно цело од броја 5.
\[ 5\frac{1}{5} = 4 + 1 + \frac{1}{5} = 4 + \frac{5}{5} + \frac{1}{5} = 4\frac{6}{5} \]
Сада вршимо одузимање:
\[ 4\frac{6}{5} - 2\frac{3}{5} = (4 - 2) + \left( \frac{6}{5} - \frac{3}{5} \right) = 2\frac{3}{5} \]
Задаци за вежбање
Лак задатак: Израчунај збир \( 4\frac{2}{9} + 3\frac{5}{9} \).
Сабирамо целе делове са целим, а разломљене са разломљеним (имају исти именилац):
\[ (4 + 3) + \left( \frac{2}{9} + \frac{5}{9} \right) = 7 + \frac{7}{9} = 7\frac{7}{9} \]
Средњи задатак: Израчунај разлику \( 8\frac{3}{4} - 5\frac{1}{6} \).
Прво сводимо на заједнички именилац (НЗС за 4 и 6 је 12):
\[ 8\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} - 5\frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = 8\frac{9}{12} - 5\frac{2}{12} \]
Пошто је \( 9 > 2 \), можемо директно одузети целе делове и разломљене делове:
\[ (8 - 5) + \left( \frac{9}{12} - \frac{2}{12} \right) = 3\frac{7}{12} \]
Тежак задатак: Израчунај \( 10\frac{2}{7} - 4\frac{5}{7} \).
Пошто је \( 2 < 5 \), не можемо директно одузети разломљене делове. Морамо да „позајмимо” од 10.
\[ 10\frac{2}{7} = 9 + \frac{7}{7} + \frac{2}{7} = 9\frac{9}{7} \]
Сада вршимо одузимање:
\[ 9\frac{9}{7} - 4\frac{5}{7} = (9 - 4) + \left( \frac{9}{7} - \frac{5}{7} \right) = 5\frac{4}{7} \]
(Алтернативно преко неправих разломака: \( \frac{72}{7} - \frac{33}{7} = \frac{39}{7} = 5\frac{4}{7} \))
