Најважније из лекције
Кључни појмови о разломцима и децималним бројевима:
- Разломак \( \frac{a}{b} \) је количник бројева \( a \) и \( b \). Састоји се од бројиоца, разломачке црте и имениоца.
- Врсте: Прави (\( < 1 \)), неправи (\( \ge 1 \)) и мешовити бројеви.
- Проширивање и скраћивање: Множење или дељење бројиоца и имениоца истим бројем не мења вредност разломка. Циљ скраћивања је добити несводљив разломак.
- Децимални запис: Користи се за разломке са имениоцима 10, 100, 1000... Има цео део, децимални зарез и децимале. Пример: \( \frac{13}{10} = 1,3 \).
- Упоређивање: Довођењем разломака на исти именилац/бројилац, или (код децималних) изједначавањем броја децимала дописивањем нула ради лакшег поређења.
Разломак се користи за описивање делова неке целине. Записује се помоћу два броја и разломачке црте.
Именилац (број испод црте) – показује на колико је једнаких делова целина подељена.
Бројилац (број изнад црте) – показује колико таквих једнаких делова имамо.
Разломак је количник два природна броја:
\[ \frac{a}{b} = a : b \]
(где је \( a \in \mathbb{N}_0 \) бројилац, а \( b \in \mathbb{N} \) именилац)
Сваки природан број се може записати као разломак чији је именилац 1. На пример: \( 4 = \frac{4}{1} \).
У зависности од односа бројиоца и имениоца, разломци се деле на праве и неправе.
- Прави разломак: Бројилац је мањи од имениоца (\(a < b\)). Вредност је мања од 1. Пример: \( \frac{2}{3} \).
- Неправи разломак: Бројилац је већи или једнак имениоцу (\(a \ge b\)). Вредност је већа или једнака 1. Пример: \( \frac{5}{3} \).
Мешовити број се састоји од целог броја и правог разломка. Сваки неправи разломак се може записати као мешовити број.
Неправи разломак у мешовити број: Поделимо бројилац имениоцем. Количник даје број целих, а остатак постаје нови бројилац.
Пример: \( \frac{11}{6} \rightarrow 11 : 6 = 1 \) (остатак 5) \( \rightarrow 1\frac{5}{6} \).
Пример: \( \frac{11}{6} \rightarrow 11 : 6 = 1 \) (остатак 5) \( \rightarrow 1\frac{5}{6} \).
Мешовити број у неправи разломак: Цео број помножимо имениоцем и додамо бројилац. Именилац остаје исти.
Пример: \( 2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4} \).
Пример: \( 2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4} \).
Запиши разломак \( \frac{23}{5} \) као мешовити број, а мешовити број \( 4\frac{2}{7} \) као неправи разломак.
\( \frac{23}{5} \rightarrow 23 : 5 = 4 \) (остатак 3), па је решење \( 4\frac{3}{5} \).
\( 4\frac{2}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{30}{7} \).
\( 4\frac{2}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{30}{7} \).
Вредност разломка се не мења ако бројилац и именилац помножимо или поделимо истим природним бројем (већим од 1).
Проширивање: Множење бројиоца и имениоца истим бројем.
Пример: \( \frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{6}{14} \).
Пример: \( \frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{6}{14} \).
Скраћивање: Дељење бројиоца и имениоца истим бројем (њиховим заједничким делиоцем).
Пример: \( \frac{21}{35} = \frac{21 : 7}{35 : 7} = \frac{3}{5} \).
Пример: \( \frac{21}{35} = \frac{21 : 7}{35 : 7} = \frac{3}{5} \).
Разломак је несводљив (неукратив) када бројилац и именилац више немају заједничких делилаца осим броја 1 (узајамно су прости).
Скрати разломак \( \frac{18}{24} \) тако да постане несводљив.
Највећи заједнички делилац за 18 и 24 је 6.
\( \frac{18}{24} = \frac{18 : 6}{24 : 6} = \frac{3}{4} \).
\( \frac{18}{24} = \frac{18 : 6}{24 : 6} = \frac{3}{4} \).
Једнаки имениоци: Већи је онај разломак који има већи бројилац.
(\( \frac{5}{11} < \frac{6}{11} \))
(\( \frac{5}{11} < \frac{6}{11} \))
Једнаки бројиоци: Већи је онај разломак који има мањи именилац.
(\( \frac{3}{5} > \frac{3}{10} \))
(\( \frac{3}{5} > \frac{3}{10} \))
Различити имениоци и бројиоци: Разломке прво треба довести на заједнички именилац (или бројилац) проширивањем или скраћивањем, па их затим упоредити.
Упореди \( \frac{3}{5} \) и \( \frac{2}{3} \).
Заједнички именилац за 5 и 3 је 15.
\( \frac{3}{5} = \frac{9}{15} \), а \( \frac{2}{3} = \frac{10}{15} \). Пошто је \( \frac{10}{15} > \frac{9}{15} \), закључујемо да је \( \frac{2}{3} > \frac{3}{5} \).
Заједнички именилац за 5 и 3 је 15.
\( \frac{3}{5} = \frac{9}{15} \), а \( \frac{2}{3} = \frac{10}{15} \). Пошто је \( \frac{10}{15} > \frac{9}{15} \), закључујемо да је \( \frac{2}{3} > \frac{3}{5} \).
Разломци који у имениоцу имају декадне јединице (10, 100, 1000...) могу се записати у децималном запису.
Децимални запис се састоји из целог дела и децимала, који су раздвојени децималним зарезом.
| Стотине | Десетице | Јединице | , | Десети делови | Стоти делови | Хиљадити делови |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | , | 7 | 2 |
\( \frac{1}{10} = 0,1 \); \( \quad \frac{1}{100} = 0,01 \); \( \quad \frac{1}{1000} = 0,001 \).
Број 1,72 читамо: "један цео и седамдесет два стота".
Број 1,72 читамо: "један цео и седамдесет два стота".
Децимални број се не мења ако му се на крају децималног записа допише једна или више нула. \( 2,5 = 2,50 = 2,500 \).
Упоређивање децималних бројева:
1. Већи је број који има већи цео део (\( 12,98 > 0,34 \)).
2. Ако су цели делови једнаки, упоређују се децимале слева надесно. Већи је број који на првој различитој позицији има већу цифру.
1. Већи је број који има већи цео део (\( 12,98 > 0,34 \)).
2. Ако су цели делови једнаки, упоређују се децимале слева надесно. Већи је број који на првој различитој позицији има већу цифру.
Задаци за вежбање
Лаки задатак: Упореди разломке \( \frac{7}{12} \) и \( \frac{7}{9} \).
Разломци имају исте бројиоце. Већи је онај разломак који има мањи именилац.
Решење: \( \frac{7}{9} > \frac{7}{12} \).
Решење: \( \frac{7}{9} > \frac{7}{12} \).
Средњи задатак: Упореди децималне бројеве \( 3,4 \) и \( 3,389 \).
Цели делови су исти (3). Упоређујемо десете делове: код првог броја је 4, код другог је 3. Пошто је \( 4 > 3 \), први број је већи. Можемо и дописати нуле: \( 3,400 > 3,389 \).
Решење: \( 3,4 > 3,389 \).
Решење: \( 3,4 > 3,389 \).
Тежи задатак: Који број је већи, \( 1,3 \) или \( \frac{6}{5} \)? (Помоћ: претвори разломак у децимални запис проширивањем).
Прво претварамо \( \frac{6}{5} \) у децимални разломак. Проширујемо га са 2 да би именилац био 10:
\( \frac{6}{5} = \frac{12}{10} = 1,2 \).
Сада упоређујемо \( 1,3 \) и \( 1,2 \). Пошто је \( 1,3 > 1,2 \), закључујемо да је први број већи.
Решење: \( 1,3 > \frac{6}{5} \).
\( \frac{6}{5} = \frac{12}{10} = 1,2 \).
Сада упоређујемо \( 1,3 \) и \( 1,2 \). Пошто је \( 1,3 > 1,2 \), закључујемо да је први број већи.
Решење: \( 1,3 > \frac{6}{5} \).
