Најважније из лекције
- Елементи и мерење: Угао чине теме и краци. Основна мера је степен (\( 1^\circ = 60' = 3600'' \)). Приликом одузимања често се користи позајмљивање јединица.
- Врсте углова: Оштар (\( < 90^\circ \)), прав (\( 90^\circ \)), туп (између \( 90^\circ \) и \( 180^\circ \)), опружен (\( 180^\circ \)) и пун (\( 360^\circ \)).
- Односи углова: Комплементни углови дају збир \( 90^\circ \). Суплементни углови (и упоредни) дају збир \( 180^\circ \). Унакрсни углови су увек једнаки.
- Трансверзала и паралелност: Када трансверзала сече паралелне праве, сви оштри углови су једнаки, сви тупи су једнаки, а збир било ког оштрог и тупог угла је \( 180^\circ \). Исто правило важи и за углове паралелограма.
Угао је геометријски објекат који чине угаона линија (две полуправе са заједничком почетном тачком) и једна од области коју та линија одређује.
Основни елементи угла су теме (заједничка почетна тачка) и краци (полуправе које чине угаону линију).
Угао обележавамо помоћу три тачке (нпр. \( \angle pOq \), где је \( O \) теме у средини), помоћу темена (нпр. \( \angle O \)) или малим словима грчког алфабета (\( \alpha, \beta, \gamma \)).
Свака угаона линија дели раван на две области. Уколико угаона линија није права (опружена), једна област је конвексна (садржи све дужи које спајају било које две њене тачке), а друга је неконвексна. Тако постоје конвексни и неконвексни углови.
Основна јединица за мерење угла је степен (\( ^\circ \)). Мање јединице су минут (\( ' \)) и секунд (\( '' \)).
\[ 1^\circ = 60' \]
\[ 1' = 60'' \]
\[ 1^\circ = 3\,600'' \]
Сабирање углова:
\( 38^\circ 32' 27'' + 23^\circ 14' 31'' = 61^\circ 46' 58'' \)
Ако збир минута или секунди пређе 60, претварамо их у већу јединицу:
\( 41^\circ 36' + 5^\circ 35' = 46^\circ 71' = 47^\circ 11' \) (јер је \( 71' = 1^\circ 11' \)).
\( 38^\circ 32' 27'' + 23^\circ 14' 31'' = 61^\circ 46' 58'' \)
Ако збир минута или секунди пређе 60, претварамо их у већу јединицу:
\( 41^\circ 36' + 5^\circ 35' = 46^\circ 71' = 47^\circ 11' \) (јер је \( 71' = 1^\circ 11' \)).
Одузимање углова (са позајмљивањем):
Ако је умањилац већи у минутима или секундама, "позајмљујемо" 1 степен (или 1 минут) и претварамо га у 60 минута (или 60 секунди).
\( 21^\circ 46' 12'' - 9^\circ 37' 53'' \)
Позајмљујемо \( 1' \) (\( 60'' \)): \( 12'' \) постаје \( 72'' \), а \( 46' \) постаје \( 45' \).
Рачунамо: \( 21^\circ 45' 72'' - 9^\circ 37' 53'' = 12^\circ 8' 19'' \).
Ако је умањилац већи у минутима или секундама, "позајмљујемо" 1 степен (или 1 минут) и претварамо га у 60 минута (или 60 секунди).
\( 21^\circ 46' 12'' - 9^\circ 37' 53'' \)
Позајмљујемо \( 1' \) (\( 60'' \)): \( 12'' \) постаје \( 72'' \), а \( 46' \) постаје \( 45' \).
Рачунамо: \( 21^\circ 45' 72'' - 9^\circ 37' 53'' = 12^\circ 8' 19'' \).
Углови се класификују на основу њихове мере:
| Врста угла | Карактеристика / Мера |
|---|---|
| Оштар | Већи од \( 0^\circ \), а мањи од \( 90^\circ \) (мањи од правог угла). |
| Прав | Тачно \( 90^\circ \). Граде га две узајамно нормалне праве. |
| Туп | Већи од \( 90^\circ \), а мањи од \( 180^\circ \). |
| Опружен | Тачно \( 180^\circ \). Краци му припадају истој правој. |
| Пун | Тачно \( 360^\circ \). Настаје када полуправа обиђе пун круг. Краци се поклапају. |
Оштар, прав и туп угао спадају у конвексне углове (мањи од \( 180^\circ \)).
Суседни (надовезани) углови: Имају заједничко теме и један заједнички крак, а њихове унутрашње области се не преклапају. Унија суседних углова представља њихов збир.
Упоредни углови: Два суседна угла чији је збир опружен угао (\( 180^\circ \)).
Унакрсни углови: Налазе се један наспрам другог при пресеку две праве. Унакрсни углови су увек међусобно једнаки.
Комплементни углови: Два угла чији је збир прав угао (\( 90^\circ \)). Комплемент угла \( \alpha \) је \( 90^\circ - \alpha \).
Суплементни углови: Два угла чији је збир опружен угао (\( 180^\circ \)). Суплемент угла \( \alpha \) је \( 180^\circ - \alpha \).
Трансверзала је права која сече две или више паралелних правих. При пресеку две паралелне праве трансверзалом, формира се осам углова (четири оштра и четири тупа у општем случају).
Својства углова на трансверзали:
- Сви оштри углови су међусобно једнаки.
- Сви тупи углови су међусобно једнаки.
- Сваки оштар и сваки туп угао су међусобно суплементни (збир им је \( 180^\circ \)).
Углови са паралелним крацима:
Ако краци два конвексна угла леже на паралелним правама, ти углови су или међусобно једнаки (ако су оба крака исто усмерена или оба супротно усмерена) или су суплементни (један пар кракова исто усмерен, а други супротно усмерен).
Ако краци два конвексна угла леже на паралелним правама, ти углови су или међусобно једнаки (ако су оба крака исто усмерена или оба супротно усмерена) или су суплементни (један пар кракова исто усмерен, а други супротно усмерен).
Углови паралелограма: Применом правила о паралелним крацима долазимо до закључка да су наспрамни углови паралелограма једнаки, а суседни углови суплементни.
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај меру угла који је комплементан углу од \( 34^\circ \).
Збир комплементних углова је \( 90^\circ \).
\( 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ \).
Одговор: Тражени угао износи \( 56^\circ \).
\( 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ \).
Одговор: Тражени угао износи \( 56^\circ \).
Средњи: Израчунај разлику углова \( \alpha = 180^\circ \) и \( \beta = 72^\circ 45' 20'' \).
Угао од \( 180^\circ \) морамо претворити у степене, минуте и секунде ради лакшег одузимања.
\( 180^\circ = 179^\circ 60' = 179^\circ 59' 60'' \).
Сада вршимо одузимање:
\( 179^\circ 59' 60'' - 72^\circ 45' 20'' \)
Степени: \( 179 - 72 = 107^\circ \)
Минути: \( 59 - 45 = 14' \)
Секунде: \( 60 - 20 = 40'' \)
Одговор: Разлика је \( 107^\circ 14' 40'' \).
\( 180^\circ = 179^\circ 60' = 179^\circ 59' 60'' \).
Сада вршимо одузимање:
\( 179^\circ 59' 60'' - 72^\circ 45' 20'' \)
Степени: \( 179 - 72 = 107^\circ \)
Минути: \( 59 - 45 = 14' \)
Секунде: \( 60 - 20 = 40'' \)
Одговор: Разлика је \( 107^\circ 14' 40'' \).
Тежак: Један од углова које граде две праве које се секу (унакрсни и упоредни углови) износи \( 42^\circ \). Израчунај мере преостала три угла.
Када се две праве секу, формирају се два пара унакрсних углова. Унакрсни углови су једнаки, а суседни (упоредни) су суплементни (збир је \( 180^\circ \)).
Нека је дат угао \( \alpha = 42^\circ \).
1. Њему унакрсни угао \( \gamma \) једнак је \( \alpha \), дакле \( \gamma = 42^\circ \).
2. Суседна два угла (\( \beta \) и \( \delta \)) су упоредна углу \( \alpha \), па важи \( \beta = 180^\circ - 42^\circ = 138^\circ \).
3. Угао \( \delta \) је унакрсан углу \( \beta \), па је и он \( 138^\circ \).
Одговор: Преостала три угла износе \( 42^\circ \), \( 138^\circ \) и \( 138^\circ \).
Нека је дат угао \( \alpha = 42^\circ \).
1. Њему унакрсни угао \( \gamma \) једнак је \( \alpha \), дакле \( \gamma = 42^\circ \).
2. Суседна два угла (\( \beta \) и \( \delta \)) су упоредна углу \( \alpha \), па важи \( \beta = 180^\circ - 42^\circ = 138^\circ \).
3. Угао \( \delta \) је унакрсан углу \( \beta \), па је и он \( 138^\circ \).
Одговор: Преостала три угла износе \( 42^\circ \), \( 138^\circ \) и \( 138^\circ \).
Тежак: Праве \( a \) и \( b \) су паралелне и пресечене су трансверзалом. Ако је један од оштрих углова на трансверзали \( 55^\circ \), колико износи туп угао на тој истој трансверзали?
Према својствима углова на трансверзали паралелних правих, сваки оштар угао је суплементан сваком тупом углу.
Збир оштрог и тупог угла је \( 180^\circ \).
Туп угао = \( 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ \).
Одговор: Туп угао износи \( 125^\circ \).
Збир оштрог и тупог угла је \( 180^\circ \).
Туп угао = \( 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ \).
Одговор: Туп угао износи \( 125^\circ \).
