Најважније из лекције
- Дефиниција: Два разломка су реципрочна ако је њихов производ једнак 1 (нпр. \( \frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3} = 1 \)).
- Правило: Реципрочан разломак се добија заменом места бројиоца и имениоца (\( \frac{a}{b} \rightarrow \frac{b}{a} \)).
- Природан број: Има реципрочну вредност \( \frac{1}{n} \) (нпр. за број 5, реципрочан је \( \frac{1}{5} \)).
- Мешовит број: Обавезно га прво претвори у неправилан разломак, па онда тражи реципрочну вредност.
- Важно: Број 1 је самом себи реципрочан, док нула нема реципрочан разломак.
За два разломка каже се да су реципрочни ако је њихов производ једнак 1.
Разломку \( \frac{a}{b} \) реципрочан је разломак \( \frac{b}{a} \) јер је:
\[ \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1 \]
У запису разломка, реципрочан разломак се једноставно добија тако што бројилац и именилац замене места.
Разломку \( \frac{2}{5} \) реципрочан је разломак \( \frac{5}{2} \) јер је \( \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} = 1 \).
Да ли су разломци \( \frac{4}{9} \) и \( \frac{9}{4} \) међусобно реципрочни?
Одговор: Да, јесу, зато што је њихов производ једнак 1: \( \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{4} = 1 \).
Природном броју \( n \) реципрочан је разломак \( \frac{1}{n} \). (Сваки природан број може се записати као разломак са имениоцем 1: \( n = \frac{n}{1} \)).
Мешовити број се прво записује у облику неправилног разломка, а тек онда се одређује његов реципрочан разломак.
Природан број: Броју \( 8 \) реципрочан је разломак \( \frac{1}{8} \), јер је \( 8 = \frac{8}{1} \).
Мешовити број: За број \( 3\frac{1}{6} \), прво га претварамо у неправилан разломак: \( 3\frac{1}{6} = \frac{19}{6} \). Његов реципрочан разломак је \( \frac{6}{19} \).
Мешовити број: За број \( 3\frac{1}{6} \), прво га претварамо у неправилан разломак: \( 3\frac{1}{6} = \frac{19}{6} \). Његов реципрочан разломак је \( \frac{6}{19} \).
Одреди разломак који је реципрочан мешовитом броју \( 1\frac{3}{4} \).
Прво претварамо мешовити број у неправилан разломак: \( 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4} \).
Реципрочан разломак је \( \frac{4}{7} \).
Реципрочан разломак је \( \frac{4}{7} \).
Сви разломци код којих су бројилац и именилац једнаки (на пример \( \frac{11}{11} \)) једнаки су броју 1. Због тога се каже да је број 1 самом себи реципрочан.
Нула нема реципрочан разломак! Не постоји ниједан број који помножен нулом даје производ једнак 1.
Збир реципрочних разломака није једнак разломку који је реципрочан збиру почетних разломака. Ова два појма се морају разликовати приликом рачунања.
Задаци за вежбање
Лак: Одреди разломак који је реципрочан разломку \( \frac{5}{7} \).
Потребно је само заменити места бројиоцу и имениоцу.
Одговор: \( \frac{7}{5} \)
Одговор: \( \frac{7}{5} \)
Средњи: Који је разломак реципрочан мешовитом броју \( 11\frac{6}{7} \)?
Прво записујемо мешовити број у облику неправилног разломка:
\( 11\frac{6}{7} = \frac{11 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{77 + 6}{7} = \frac{83}{7} \)
Затим му одређујемо реципрочну вредност.
Одговор: \( \frac{7}{83} \)
\( 11\frac{6}{7} = \frac{11 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{77 + 6}{7} = \frac{83}{7} \)
Затим му одређујемо реципрочну вредност.
Одговор: \( \frac{7}{83} \)
Тежак: Израчунај збир разломака који су реципрочни разломцима \( \frac{1}{4} \) и \( \frac{3}{5} \), а затим одреди разломак који је реципрочан збиру та два разломка. Упореди резултате.
1. Збир реципрочних разломака:
Реципрочан разломак за \( \frac{1}{4} \) је \( 4 \).
Реципрочан разломак за \( \frac{3}{5} \) је \( \frac{5}{3} \).
Њихов збир је: \( 4 + \frac{5}{3} = \frac{12}{3} + \frac{5}{3} = \frac{17}{3} \)
2. Разломак реципрочан збиру:
Прво рачунамо збир почетних разломака: \( \frac{1}{4} + \frac{3}{5} = \frac{5}{20} + \frac{12}{20} = \frac{17}{20} \)
Разломак који је реципрочан овом збиру је: \( \frac{20}{17} \)
Закључак: Резултати нису једнаки (\( \frac{17}{3} \neq \frac{20}{17} \)).
Реципрочан разломак за \( \frac{1}{4} \) је \( 4 \).
Реципрочан разломак за \( \frac{3}{5} \) је \( \frac{5}{3} \).
Њихов збир је: \( 4 + \frac{5}{3} = \frac{12}{3} + \frac{5}{3} = \frac{17}{3} \)
2. Разломак реципрочан збиру:
Прво рачунамо збир почетних разломака: \( \frac{1}{4} + \frac{3}{5} = \frac{5}{20} + \frac{12}{20} = \frac{17}{20} \)
Разломак који је реципрочан овом збиру је: \( \frac{20}{17} \)
Закључак: Резултати нису једнаки (\( \frac{17}{3} \neq \frac{20}{17} \)).
