Најважније из лекције
Кључна правила за бројевне изразе:
• Редослед рачунања: Заграде → множење и дељење → сабирање и одузимање.
• Усклађивање записа: Пре рачунања, све децималне бројеве и разломке треба свести на исти облик. Бесконачне децималне бројеве обавезно превести у разломке!
• Двојни разломци: Решавају се по правилу \( \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \) (спољашњи са спољашњим, унутрашњи са унутрашњим).
• Променљиве: Приликом замене променљивих конкретним бројевима, имати на уму да се изостављени знак између њих односи на множење (нпр. \(ab = a \cdot b\)).
• Редослед рачунања: Заграде → множење и дељење → сабирање и одузимање.
• Усклађивање записа: Пре рачунања, све децималне бројеве и разломке треба свести на исти облик. Бесконачне децималне бројеве обавезно превести у разломке!
• Двојни разломци: Решавају се по правилу \( \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \) (спољашњи са спољашњим, унутрашњи са унутрашњим).
• Променљиве: Приликом замене променљивих конкретним бројевима, имати на уму да се изостављени знак између њих односи на множење (нпр. \(ab = a \cdot b\)).
Скуп рационалних бројева (\(\mathbb{Q}\)) је затворен за сабирање, одузимање, множење и дељење (осим дељења нулом). Приликом израчунавања израза, користе се следећа важна својства:
Комутативност: Редослед сабирака или чинилаца не мења резултат.
\( a + b = b + a \)
\( a \cdot b = b \cdot a \)
\( a + b = b + a \)
\( a \cdot b = b \cdot a \)
Асоцијативност: Здруживање сабирака или чинилаца не мења резултат.
\( (a + b) + c = a + (b + c) \)
\( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)
\( (a + b) + c = a + (b + c) \)
\( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)
Дистрибутивност: Множење се дистрибуира према сабирању (и одузимању).
\( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \)
\( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \)
Нула (\(0\)) је неутрални елемент за сабирање (\(a + 0 = a\)).
Јединица (\(1\)) је неутрални елемент за множење (\(a \cdot 1 = a\)).
Сваки број \(a\) има супротни број \(-a\) тако да је \(a + (-a) = 0\).
Сваки број осим нуле има реципрочну вредност: \(\frac{p}{q} \cdot \frac{q}{p} = 1\).
Јединица (\(1\)) је неутрални елемент за множење (\(a \cdot 1 = a\)).
Сваки број \(a\) има супротни број \(-a\) тако да је \(a + (-a) = 0\).
Сваки број осим нуле има реципрочну вредност: \(\frac{p}{q} \cdot \frac{q}{p} = 1\).
Нулом се никада не дели!
Заграде: Прво се рачунају изрази унутар заграда.
Множење и дељење: Имају приоритет над сабирањем и одузимањем.
Сабирање и одузимање: Рачунају се на крају, слева надесно.
Ако у изразу учествују и разломци (\(\frac{p}{q}\)) и децимални бројеви, потребно је све бројеве превести у исти облик пре рачунања.
Ако се у изразу налази децимални број чији запис није коначан (бесконачни периодични децимални број), сви бројеви се морају превести у облик разломка (\(\frac{p}{q}\)).
Израчунавање израза: \( 4,3 + (30 : 2,5) \cdot 1,2 \)
Прво заграда: \( 30 : 2,5 = 12 \)
Затим множење: \( 12 \cdot 1,2 = 14,4 \)
На крају сабирање: \( 4,3 + 14,4 = 18,7 \)
Прво заграда: \( 30 : 2,5 = 12 \)
Затим множење: \( 12 \cdot 1,2 = 14,4 \)
На крају сабирање: \( 4,3 + 14,4 = 18,7 \)
Двојни разломак је израз у коме се разломачка црта користи као ознака за дељење два разломка.
\[ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \]
Веома је важно пажљиво водити рачуна која је главна разломачка црта (обично се пише у равни са знаком једнакости или је дужа).
Израчунај: \( \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{2}{7}} \)
Спољашњи чланови су \(-3\) и \(7\), унутрашњи су \(5\) и \(2\).
\( \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{2}{7}} = -\frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 2} = -\frac{21}{10} = -2 \frac{1}{10} \)
Спољашњи чланови су \(-3\) и \(7\), унутрашњи су \(5\) и \(2\).
\( \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{2}{7}} = -\frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 2} = -\frac{21}{10} = -2 \frac{1}{10} \)
Представи израз у облику двојног разломка и израчунај: \( \frac{2}{3} : 4 \)
Цео број \(4\) записујемо као разломак \(\frac{4}{1}\).
Главна разломачка црта одваја \(\frac{2}{3}\) од \(4\).
\[ \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{1}} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \]
Главна разломачка црта одваја \(\frac{2}{3}\) од \(4\).
\[ \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{1}} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \]
Вредност израза са променљивама рачуна се тако што се уместо променљивих замене њихове конкретне бројевне вредности.
Због једноставнијег записа, знак за множење се обично изоставља између броја и променљиве (нпр. \(2x\) значи \(2 \cdot x\)), као и између две променљиве (нпр. \(bc\) значи \(b \cdot c\)).
Израчунај вредност израза \( b : a - bc \), за \( a = -0,1 \), \( b = \frac{2}{7} \) и \( c = -0,5 \).
Заменом вредности добијамо:
\[ \frac{2}{7} : (-0,1) - \frac{2}{7} \cdot (-0,5) \]
Претварамо децималне бројеве у разломке:
\[ = -\frac{2}{7} : \frac{1}{10} + \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{2}{7} \cdot \frac{10}{1} + \frac{1}{7} = -\frac{20}{7} + \frac{1}{7} = -\frac{19}{7} = -2 \frac{5}{7} \]
Заменом вредности добијамо:
\[ \frac{2}{7} : (-0,1) - \frac{2}{7} \cdot (-0,5) \]
Претварамо децималне бројеве у разломке:
\[ = -\frac{2}{7} : \frac{1}{10} + \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{2}{7} \cdot \frac{10}{1} + \frac{1}{7} = -\frac{20}{7} + \frac{1}{7} = -\frac{19}{7} = -2 \frac{5}{7} \]
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај вредност израза превођењем у исти запис: \( 2,5 + \frac{3}{4} \cdot 2 \).
Множење има приоритет. Можемо превести разломак у децимални број (\(\frac{3}{4} = 0,75\)) или обрнуто.
Децимално: \( 2,5 + 0,75 \cdot 2 = 2,5 + 1,5 = 4 \).
У разломцима: \( \frac{5}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{5}{2} + \frac{6}{4} = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} = \frac{8}{2} = 4 \).
Одговор: 4
Децимално: \( 2,5 + 0,75 \cdot 2 = 2,5 + 1,5 = 4 \).
У разломцима: \( \frac{5}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{5}{2} + \frac{6}{4} = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} = \frac{8}{2} = 4 \).
Одговор: 4
Средњи: Реши двојни разломак: \( \frac{1 \frac{1}{2}}{\frac{3}{4}} \)
Прво мешовити број претварамо у неправилан разломак: \( 1 \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \).
Сада имамо: \( \frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{4}} \).
Множимо спољашње и унутрашње чланове: \( \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2 \).
Одговор: 2
Сада имамо: \( \frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{4}} \).
Множимо спољашње и унутрашње чланове: \( \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2 \).
Одговор: 2
Тежак: Одреди вредност израза \( (x + y) : xy \) ако је \( x = -0,2 \) и \( y = \frac{1}{4} \).
Прво преводимо \( x \) у разломак: \( x = -0,2 = -\frac{1}{5} \).
Мењамо вредности у израз: \( \left(-\frac{1}{5} + \frac{1}{4}\right) : \left(-\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{4}\right) \)
Рачунамо заграде:
Прва заграда (сводимо на заједнички именилац 20): \( -\frac{4}{20} + \frac{5}{20} = \frac{1}{20} \).
Друга заграда (множење): \( -\frac{1 \cdot 1}{5 \cdot 4} = -\frac{1}{20} \).
Сада делимо: \( \frac{1}{20} : \left(-\frac{1}{20}\right) = \frac{1}{20} \cdot \left(-\frac{20}{1}\right) = -1 \).
Одговор: -1
Мењамо вредности у израз: \( \left(-\frac{1}{5} + \frac{1}{4}\right) : \left(-\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{4}\right) \)
Рачунамо заграде:
Прва заграда (сводимо на заједнички именилац 20): \( -\frac{4}{20} + \frac{5}{20} = \frac{1}{20} \).
Друга заграда (множење): \( -\frac{1 \cdot 1}{5 \cdot 4} = -\frac{1}{20} \).
Сада делимо: \( \frac{1}{20} : \left(-\frac{1}{20}\right) = \frac{1}{20} \cdot \left(-\frac{20}{1}\right) = -1 \).
Одговор: -1
