Најважније из лекције
- Збир два цела броја је увек цео број: за свако \( a, b \in Z \) важи \( a + b \in Z \).
- Број \( 0 \) је неутрални елемент: \( a + 0 = 0 + a = a \).
- Супротан елемент броја \( a \) је \( -a \), а њихов збир је \( a + (-a) = 0 \).
- Комутативност: \( a + b = b + a \) (редослед сабирака не мења збир).
- Асоцијативност: \( (a + b) + c = a + (b + c) \) (груписање не мења збир).
- Ова својства нам дозвољавају да збир рачунамо најлакшим редоследом.
Када сабирамо два цела броја, увек добијамо цео број. Каже се да је скуп целих бројева затворен за сабирање.
За свако \( a, b \in Z \) важи \( a + b \in Z \).
Број \( 0 \) је неутрални елемент за сабирање — када га додамо било ком целом броју, тај број се не мења.
За свако \( a \in Z \) важи \[ a + 0 = 0 + a = a. \]
\( 39 + 0 = 39 \); \(\quad\) \( -117 + 0 = -117 \); \(\quad\) \( 0 + (-450) = -450 \).
За сваки цео број \( a \) постоји његов супротан елемент за сабирање — то је број \( -a \). Збир броја и његовог супротног броја увек је \( 0 \).
За свако \( a \in Z \) важи \[ a + (-a) = (-a) + a = 0. \]
За број \( -27 \) супротан елемент за сабирање је број \( 27 \), па важи \( -27 + 27 = 0 \).
За број \( 356 \) супротан елемент за сабирање је број \( -356 \), па важи \( 356 + (-356) = 0 \).
За број \( 356 \) супротан елемент за сабирање је број \( -356 \), па важи \( 356 + (-356) = 0 \).
Код сабирања целих бројева редослед сабирака не мења збир. То се зове својство комутативности.
За свако \( a, b \in Z \) важи \[ a + b = b + a. \]
\( -14 + 13 = -1 \) \(\quad\) и \(\quad\) \( 13 + (-14) = -1 \),
па је \( -14 + 13 = 13 + (-14) \).
па је \( -14 + 13 = 13 + (-14) \).
Када сабирамо три (или више) целих бројева, можемо их груписати како год желимо — збир остаје исти. То се зове својство асоцијативности.
За свако \( a, b, c \in Z \) важи \[ (a + b) + c = a + (b + c). \]
\( \bigl(24 + (-24)\bigr) + 256 = 0 + 256 = 256; \)
\( 24 + \bigl((-24) + 256\bigr) = 24 + 232 = 256, \)
па је \( \bigl(24 + (-24)\bigr) + 256 = 24 + \bigl((-24) + 256\bigr) \).
\( 24 + \bigl((-24) + 256\bigr) = 24 + 232 = 256, \)
па је \( \bigl(24 + (-24)\bigr) + 256 = 24 + \bigl((-24) + 256\bigr) \).
Захваљујући комутативности и асоцијативности збир бројева можемо рачунати редоследом који је нама најлакши — резултат је увек исти.
Немачки математичар Јоханес Видман (1460–1498) први је употребио знак \( + \) за операцију сабирања и знак \( - \) за операцију одузимања.
Задаци за вежбање
Лак задатак: Израчунај најлакшим путем: \( -425 + 425 \) \(\ \) и \(\ \) \( 39 + (-39) \).
Бројеви \( -425 \) и \( 425 \) су супротни, а тако и \( 39 \) и \( -39 \). Збир супротних бројева је \( 0 \):
\[ -425 + 425 = 0; \qquad 39 + (-39) = 0. \]
Одговор: оба збира су \( 0 \).
Средњи задатак: Користећи асоцијативност, израчунај \( -7\,856 + (7\,856 + 2\,999) \).
Прегрупишемо сабирке тако да се прво саберу супротни бројеви:
\[ -7\,856 + (7\,856 + 2\,999) = (-7\,856 + 7\,856) + 2\,999 = 0 + 2\,999 = 2\,999. \]
Одговор: \( 2\,999 \).
Тежак задатак: Израчунај на најпогоднији начин \( 57 + 99 + (-58) \).
Због комутативности и асоцијативности сабирке можемо преуредити и груписати. Прво саберемо \( 57 \) и \( -58 \):
\[ 57 + 99 + (-58) = \bigl(57 + (-58)\bigr) + 99 = -1 + 99 = 98. \]
Одговор: \( 98 \).
